F. ASCHIERI, GENERAZIONI DI UN COMPLESSO PARTJC. DI 2*' GRADO, ECC. 615 



Ora le rette del fascio S del piano a hanno per poli i puuti M della 

 retta A M. Per ogni raggio del fascio S del piano a, resta determi- 

 nato un suo raggio conjugato rispetto a 0, posto nel fascio A del 

 piano Sa, Segue subito da ciò che la serie dei punti della retta A M", 

 è projettiva alla serie dei piani che dalla retta A M projettono i 

 raggi del fascio S che sono conjugati alle rette polari in i; dei punti 

 di A M. Dunque : 



In ogni raggio del fascio A del piano «. coincidono le direttrici di 

 una congruenza lineare composta di tutte rette di 0(2), 



Se 0(2) ha i tre piani, e i tre punti principali reali, allora risulta 

 subito chiaramente che per ogni punto dei piani principali s e f, 

 passano infinite rette di 0(2), che. come pel piano a, formano due 

 fasci piani, uno giacente nel piano stesso principale considerato, e 

 l'altro nel piano determinato dal raggio di una qualunque delle con- 

 gruenze lineari sunnominate, passante pel punto preso, e dal punto 

 principale giacente fuori del piano principale considerato. Di piti è 

 chiaro che nello stesso caso alle rette A E, ed A F sono da conside- 

 rarsi come corrispondenti le congruenze singolari (E&), (F^), sicché 

 possiamo dire in tutti casi che: 



0(2) è dato dall'insieme delle infinite congruenze lineari individuate 

 nel modo ora indicato dalle varie rette del fascio A del piano «. 



Segue subito : 



Data la retta fondamentale a, il piano principale a, ed una retta 

 arbitraria m di 0(2) , e finalmente il sistema S polare nel piano a, 

 restano interamente determinati i complessi 0, e 0(2); oppure, dati 

 il piano «, la retta fondamentale a' sul piano a, ed un^ involuzione 

 di punti su di essa, ed il complesso lineare 0, restano unicamente in- 

 dividuati 2 e 0(2), quando sia data inoltre una retta m di 0(-). 



4. Ma colle rette fondamentali a a', col piano principale «, coll'en- 

 voluzione su a', e con una retta m di 0(2) si può determinare intera- 

 mente il complesso 0i2) indipendentemente da e da -. Infatti se 0(2) 

 abbia tre punti e tre piani principali, cioè l'envoluzione su a' è posi- 

 tiva, e, sia M è il punto ove la retta m' di 0(2) incontra a. Resta de- 

 deterrainata così, la congruenza lineare che deve essere composta di rette 

 di 2), ed avere per direttrice doppia la retta A M . Se £J ed F sono i 

 punti doppi dell' envoluzione su a', essendo essa positiva, saranno 

 Ea = z, Fa = rf gli altri due piani principali. In tal caso il fascio 

 M di raggi della congruenza lineare ora nominata, passanti pel punto 

 M, riferisce projettivamente i fasci ^ ed F dì raggi posti rispettiva- 

 mente nei piani e e cp, per modo che due raggi corrispondenti sono 

 quelli tagliati da uno stesso raggio del fascio M. I due fasci E ed F 

 così riferiti determiuano, sulla retta fondamentale a, due punteggiate 



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