616 r. ASCHIERI, GENERAZIONI DI UN COMPLESSO PARTIC. DI 2' GRADO, ECC. 



projettive che hanno i loro punti uniti coincidenti in A. Ora se E^ 

 ed Fi sono i punti ove la retta m di 0(2) sega i piani e e ^, allora 

 saranno E E^ ed F F^ due raggi corrispondenti. Le rette passanti per 

 i punti di E E^, della congruenza lineare {d d) che ha per direttrice 

 doppiala retta AM = d, e che abbiamo già determinata, formano 

 una serie rigata che contiene il raggio m, e fra le direttrici, il raggio 

 F F^, cioè sono tutte rette della congruenza lineare (d d) quelle con- 

 dotte dai diversi punti di A M ad incontrare le varie coppie di raggi 

 omologhi dei fasci projettivi E ed F: e segue da ciò immediatamente: 



Il complesso 0(2) degli assi non è altro che, in tal caso, V insieme 

 delle rette dello spazio rigato, che incontrano i raggi omologhi di due 

 fasci projettivi di raggi, posti in piani differenti, e che neW inter- 

 sezione a dei loro piani determinano due punteggiate projettive che 

 hanno i loro punti uniti, riuniti in un sol punto A. 



In ogni caso poi, sia l'envoluzione data su a' positiva, o negativa 

 il complesso 0(2) degli assi è interamente determinato coi dati pre- 

 messi, essendo determinato per ogni punto dello spazio il cono di 

 2° grado, le cui generatrici sono le rette di 0(2) che passano per quel 

 punto, giacché coi dati stessi abbiamo visto potersi determinare la 

 congruenza lineare (d d) composta di rette che debbono apparte- 

 nere a 0^2), 



5. Determinato 0(2) risulta subito chiaramente che : 



Ogni coìnplesso lineare che passi per la congruenza lineare {a a^) 

 le cui direttrici sono le rette fondamentali date a a', determina un 

 sistema polare 2 nel piano Aa' = 0., per modo che 0(2) è il complesso 

 degli assi relativi a S, e a "^f e viceversa ogni sistema polare ^ del 

 piano «, nel quale A ed a' siano elementi polari reciproci, e Venvo- 

 luzione data su a' sia quella di poli oonjugati in ^ , determina un 

 complesso lineare 0(2' che contiene la congruenza lineare (a a') , per 

 modo che il complesso 0(2) è quello degli assi relativi a e a 2. 



6. Del resto la generazione di per mezzo dei fasci projettivi 

 E ed F può enunciarsi anche sotto questa forma : 



u 0>2) è il luogo di una serie di congruenze lineari , aventi per 

 coppia di direttrici rispettivamente una diversa coppia di raggi omo- 

 loghi dei fasci projettivi E ed F, e fra queste infinite congruenze 

 havvi la congruenza singolare (A a). » 



Sotto questa forma la generazione di 0(2), si verifica anche 

 quando 0(2) non abbia tre punti e tre piani principali. — Infatti im- 

 maginiamo per a' un piano [l; ed assumiamo un complesso 0, e il 

 relativo sistema polare ^, per modo che 0(2) sia adunque il complesso 

 degli assi relativi a e a :i . Per ogni punto M di [x, resta determinato 

 il suo piano focale rispetto a 0, e quindi una retta di 0(2) passante 



