F. ASCHIERI, GENERAZIONI DI UN COMPLESSO PARTIC. DI 2" GRADO, ECC 617 



per M che ò l'asse del piano focale di M. Di pid, ai punti di una 

 retta arbitraria di [t. corrispondono in questo modo rette di ©(''> poste 

 in una serie rigata che contiene la retta fondamentale a'. Segue da 

 ciò che la serie particolare degli assi così costruita, riferisce projet- 

 tivaraente due stelle // e X che abbiano i loro centri sulla retta a', 

 per modo che due piani omologhi di quelle stelle sono quelli che 

 projettano un asse cosi costruito, di quella serie particolare consi- 

 derata. Dunque quella serie stessa appartiene ad una congruenza li- 

 neare, a cui appartengono pure le rette fondamentali a ed a'. E se 

 sulle rette a' ci sono i punti principali E ed F, allora le rette della 

 serie particolare considerata corrispondenti ai punti di una retta di 

 [X, passante per uno dei punti principali, costituiscono un serie rigata, 

 che si scinde in tal caso in due fasci di raggi, l'uno che ha il centro 

 in un punto individuato dell'altro piano principale che non passa pel 

 punto principale considerato, e l'altro fascio che ha il centro nel punto 

 stesso principale considerato. Così in tal caso la congruenza lineare 

 individuata, ha le direttrici reali, che costituiscono così una coppia 

 individuata di raggi omologhi dei fasci E ed F. Se noi ora facciamo 

 variare il complesso 0, convenientemente, avremo le varie con- 

 gruenze lineari composte di rette di 0(2) e che hanno per direttrici 

 le varie coppie di raggi omologhi nei fasci projettivi E ed F; ed 

 avremo pure le medesime congruenze tenendo fisso il complesso 0, 

 e facendo variare il piano [x intorno alla retta a'. 



7. Se il sistema polare 2 ha una curva direttrice C\2) che tagli 

 o non tagli a', allora abbiamo visto esservi una congruenza A(2) di 

 assi che sono anche rette di 0; cioè A'^) è l'intersezione di con 

 0(2). Ciò posto il piano [x taglierà la superficie conica 7(2), direttrice 

 del sistema polare 2)^ della stella A, secondo una conica Ci(2). Se 

 indichiamo con (C) la congruenza lineare composta di rette di 0)2)^ 

 ed individuata nel molo anzidetto del piano [x, si vede subito che le 

 rette di (C) che corrispondono ai varj punti della conica Cj(2) sono 

 rette di che appartengono ad una medesima serie rigata la quale 

 contiene nelle sue direttrici, un' involuzione di rette conjugate, rispetto 

 a 0, le cui rette doppie, quando esistono, sono le direttrici della con- 

 gruenza (C). Conseguentemente: 



La congruenza (C) è costituita da assi che sono a due a due e 

 conjugate rispetto a 0, e polari reciproche rispetto alla quadrica che 

 contiene la serie rigata, formata di tanti assi che sono anche rette dì 

 0, e finalmente quella quadrica passa per la conica direttrice del 

 sistema S polare. 



Si vede poi chiaramente che nel piano (jl, resta individuata in tutti 

 ì casi una corrispondenza involutoria del 2" grado, nella quale sono 



