F. ASCHIERI, GENERAZIONI DI UN COMPLESSO PARTIC DI 2° GRADO, ECC. 619 



La stessa generazione di 0(2) fa porre in chiaro una corrispondenza 

 involutoria di 3" ordine, la quale non è del resto che un caso parti- 

 colare di quella che si ottiene con una quadrica e due rette a, ed a' 

 che non si tagliano; o piti generalmente con un sistema polare Q dello 

 spazio, ed una congruenza lineare (C^). Ogni punto P di {S, a) ha per 

 corrispondente il punto P' ove il piano polare di P nel sistema 12 in- 

 contra la retta di (C^) che passa per P. La quadrica direttrice del 

 sistema polare H (quando esiste) ha per corrispondente so medesima 

 cioè ciascun punto della quadrica ha per corrispondente il punto 

 stesso. Se (C^) ha le direttrici reali d, e c?j, allora a ciascun punto 

 P dell'una direttrice corrispondono tutti i punti di una retta p, che 

 è l'intersezione del piano polare di P, col piano che da P projetta 

 i punti dell'altra direttrice. Nel nostro caso ogni punto P preso ad 

 arbitrio nello spazio ha il suo piano -k focale rispetto a 0, e questo 

 il suo asse m. La retta m' conjugata m rispetto a giace in tc, ed 

 è l'asse del piano rJ il cui fuoco non è altro che il punto P' ove la 

 retta condotta per P della congruenza lineare (a a') che ha per di- 

 rettrici le rette fondamentali, incontra la retta m. Ora il punto P' 

 dato P, si può anco ottenere, trovando la retta di (a a') passante 

 per P; indi il piano polare della retta P A nel sistema 2^ della stella 

 A. Segue da ciò che i punti P , e P' variando corrispondentemente, 

 generano una corrispondenza involutoria di 3" ordine fra i punti 

 dello spazio che è chiaramente un caso particolare di quella prima 

 citata. La congruenza lineare è quella (a a') che ha per direttrici 

 le rette fondamentali, e il sistema polare e quello 2^ della stella A . 

 Al punto A corrispondono tutti i punti del piano a, in particolare 

 ai punti di a' corrispondono tutti i punti di a, e viceversa. Ad una 

 retta arbitraria dello spazio corrispondono i punti di una cubica gobba 

 Cm^'^^ che ha per secante a', e che passa pel punto principale A, e per 

 gli altri punti principali E ed F (se esistono). Ai punti di un piano 

 arbitrario y corrispondono 1 punti di una superficie di 3° ordine 5(3) 

 che contiene necessariamente le due rette fondamentali a, ed a'. Que- 

 sta superficie degenera in un cono di 2° grado di vertice Aj e nel 

 piano a, quando il piano y passa per A. Le varie cubiche Cm^^^ che 

 corrispondono alle rette dello spazio, sono tutte toccate in A dalla 

 retta fondamentale a. Ai punti di una retta l che incontri la retta 

 fondamentale a, corrispondono i punti di una cubica, che in tal 

 caso si spezza nella retta a', e in una conica individuata giacente 

 nel piano i a., e toccata in A della retta a. La superficie SC^) corri- 

 spondente ad un piano y , contiene la rete di cubiche che corrispon- 

 dono alle rette del piano y. Il piano y taglia S(^) secondo una cubica 

 piana che si spezza nella retta della congruenza (a a') che si trova in 



