F. nt:i-Ti\Ajn, funzioni potenziali di sistkmi simmetrici, ecc. 6G0 

 nubile con una quadratura, poiché si ha 



Ma le due equazioni (1) possono inoltre essere considerate come 

 condizioni d'integrabilità, e come tali dimostrano 1' esistenza di due 

 funzioni F, e IT, i cui differenziali esatti sono dati da 



u 

 dW,^ Wdz+ Vudu 



(4) 



talchò si ha tanto 



quanto 



K = 8-^, Tr=-..^', (5) 



Dunque ogni coppia di funzioni associate V e W Q esprimibile, in 

 due maniere diverse, mediante le derivate parziali d'una stessa fun- 

 zione, Fj IFj. E siccome dalle equazioni (5), (5)' si trae 



du d^ 0^ 0^1' 



relazioni che hanno la stessa forma delle (1), cosi si vede che le 

 nuove funzioni V^ e IF, costituiscono, come le F e \V, il sistema 

 di una funzione potenziale e della sua associata. Si possono dunque 

 sostituire le F, , TK, alle F, W nelle equazioni (2), (2)', (3), (3)' ed 

 ottenere così altrettante proprietà delle funzioni F^ , /f,. 



Le formolo (5) erano già conosciute: si può vedere in proposito, 

 per esempio, il § 2 della lezione XVIII nella Meccanica di Kirciiiioff. 

 Non pare invece che siano già state notate le formolo associate (5)'. 



La dipendenza reciproca delle due coppie di funzioni V q JV, F, 

 e TF, , mostra che mediante una funzione, sia potenziale sia associata, 

 si può formare una serie ascendente, del pari che una serie discen- 

 dente, di coppie della medesima specie (F, W)- 



Prima di procedere innanzi, facciamo un pajo d'esempj. 



Cominciamo da uno semplicissimo, nel quale tutte quattro le fun- 

 zioni F, IF, F,, ir, sono determinabili facilissimamente. Sia F la 

 funzione potenziale di masse concentrato in varj punti dell' asse di 

 simmetria, cioò pongasi 



