670 E. BELTRAMI, FUNZIONI POTENZIALI DI SISTEMI SIMMETRICI, ECC. 



dove r z=: \^ a"- -\- {^z — e)" , e essendo la distanza della massa in dall'ori- 

 gine. Dalle due equazioni (1) si ricava subito 

 .,»n(z — e) 



W=. i = iWC0S{r, Z)y 



r 

 e dalle equazioni (4) 



F^ = 2 m log (r -H 2; — e) — ^ m log M , 



Osserviamo che essendo, in generale 



si ha nel caso attuale 



V=z-^m''- , TF=-lm|-; 



^c gc 



talché se le masse occupano un segmento finito, terminato ai punti 

 Cq, c, , colla densità = 1, si ha tosto, convertendo la somma in un 

 integrale preso rispetto a e, 



V — log -^ ° = log — i ■ ? , 



Le linee equipotenziali r^ + r^— cost, e le linee di forza r„ — r ^ == cost. 

 sono dunque le ellissi e le iperboli che hanno per comune asso fo- 

 cale il segmento materiale: come è notissimo. 

 Per secondo esempio, consideriamo la funzione 



Wi- —neri F{s)d'k 



dove 



u^ z^ 



e dove il limite inferiore X^ è la radice positiva dell'equazione in X 

 che si ottiene ponendo s = 0. La funzione F (s) non è per ora sog- 

 getta ad altra condizione che a quella di annullarsi per s = 0. 



Incominciamo col dimostrare che questa funzione \Vi possiede vera- 

 mente il carattere di una funzione associata, cioè che soddisfa alla 

 equazione (2)'. Si ha infatti 



d 



5TF. ^ , rF'{^)dl \ 

 d « J «" + X- ' 1 



d^v,_ r-F'is)di i 



(b) 



