G72 E. BELTRAMf, FUNZIONI POTENZIALI DI SISTEMI SIMMETRICI, ECC. 



che sono quelli stessi da me considerati nella Nota Intorno ad alcune 

 questioni d'elettrostatica (letta nell'adunanza del 15 marzo 1877) qua- 

 lora vi si ponga F' {s) = f{s). La condizione circa il valor finito 

 di f{l) era già stata incontrata per altra via in quello scritto. 



Ciò che importa osservare, intorno a questo secondo esempio, è che 

 mentre l'espressione di Wi riesce, come si vede, molto semplice, 

 quella della corrispondente funzione F, risulterebbe molto piti dif- 

 ficile a calcolarsi, cosicché si riconosce quanto sia utile di conside- 

 rare ambedue le maniere (5) e (5)' d'esprimere una coppia di fun- 

 zioni (F, /T); potendo riuscire facilmente applicabile l' una quando 

 non lo sia l'altra. 



Ritorniamo ora alla questione generale, e procuriamo anzitutto di 

 generalizzare il principio su cui si fondano le correlazioni donde ab- 

 biam prese le mosse. 



Le formo,le (5) e (5)' somministrano le espressioni di V e W for- 

 mate, in modo assai semplice, colle derivate parziali d'una medesima 

 funzione, F^ o Wi. Possiamo proporci invece di ottenere per V e W 

 delle espressioni soggette alla sola condizione d'essere formate linear- 

 mente colle derivate parziali d'una stessa funzione, che diremo U. 

 È chiaro che se tale funzione esiste, il suo differenziale totale deve 

 avere la forma. 



dU^{A-{-BV+Cfr)du'+{A^+B,V+Cjn ds 

 dove ^, B, C, Al, Bi, d, sono funzioni di m, z, indipendenti dalle 

 espressioni particolari di U, F, W. Ora la condizione d' integrabilità 

 del secondo membro è 



e questa, poiché non esiste alcuna relazione finita fra le F, ]V e sono 

 date soltanto le relazioni differenziali (1), si decompone nelle se- 

 guenti 



lA=lél dJB^d_B^ lC^d_£i. 



B=C^u, B^ = — Cu. 

 Le prime tre esprimono che 



Adu + Aidz, Bda-ì-B^dz, Cdu-\'C^dz 

 gono tre differenziali esatti. Rappresentandone gli integrali con U', 



