E. BELTRAMI, FUNZIONI POTENZIALI, DI SISTEMI SIMMETRICI, ECC. 673 



to, V si ha dunque 



e le due condizioni residue diventano 



Ora queste relazioni hanno la stessa forma delle (1), e mostrano 

 quindi che v e tv sono due funzioni particolari della specie Ve. W ri- 

 speliivamente. Quanto alla funzione U', essa può essere evidente- 

 mente compenetrata nella U, scrivendo cioè C/" invece di ?7 — U'. 



In tal modo si viene a concludere che il differenziale esatto dal 

 quale devono scaturire le due cercate espressioni dì V e W in fun- 

 zione lineare delle derivate parziali di una terza funzione U, possiede 

 là forma semplicissima 



Vdw+Wdvz=dU, il) 



dove V e w sono due soluzioni particolari simultanee delle equazioni 

 fondamentali (1). 



Fra le soluzioni particolari più semplici vi sono, per esempio, le 

 due seguenti 



Egli è appunto a queste due coppie di soluzioni che corrispondono le 

 formole (4), (5) e (5)' che abbiamo incontrate fin dal principio. 



Il risultato espresso dall'equazione (7) può essere considerato sotto 

 un altro aspetto. Essendo, in virtìi delle equazioni (1) cui soddisfanno 

 le funzioni v, ?c, 



Ir ^ _^' ^ = - M \l^W (^ 



le due funzioni u, io sono sempre fra loro indipendenti (escludendo 



il caso insignificante che si riducano a due costanti). Esse possono 



dunque essere assunte come nuove variabili indipendenti, di cui siano 



Rendiconti. - Serie II, Voi. XI. 44 



