E, BELTRAMI, FUNZIONI POTENZIALI DI SISTEMI SIMMETRICI, ECC. 6*7 5 



Di qui, eliminando z , si deduce 



o, se si vuole, 



aMo-it^ , ^'-"'=0 



equazione cui soddisfa in ogni caso tt, considerata come funzione 

 delle variabili associate v e tv. Non esiste un' equazione dello stesso 

 ordine per z. 



Dimostrerò qui, sebbene in questo momento non intenda di farne 

 applicazioni, l'esistenza d'una coppia di variabili associate u e 2o, per 

 le quali n riesce formata di due fattori, l'uno funzione della sola v , 

 l'altro della sola io. Ponendo nella equazione (12) 



u = '^ 



tp (u) ' 



si giunge a quest'eguaglianza 



f-r-\- =-7— H ^^^ 



^ dv\ <f j dtoy^ 



la quale non può essere soddisfatta che col porre ambidue i membri 

 eguali ad una stessa costante. Ora il più generale valore di cp (y) che 

 rende costante il primo membro è 



cp(v) = ^ec^ + -Be-«'", 



dove A, B e e sono tre costanti arbitrarie, ed il valor costante del 

 detto primo membro è =iABc^. Si ha dunque 



'^{70)'' - AABcSo^ + A,ìo + ^,, 



dove ^, e fij sono due altre costanti arbitrarie. Pertanto il valore 

 di u che possiede la forma voluta è il seguente 



\j\ABcUo^ -r- A.to-\- B, 



U = ' — • ì 



Ae<^'^ + Be-<^P 



cui corrisponde, come facilmente si trova mediante le equazioni (11), 

 il seguente valore di z 



/. = c?0 + 



^ABc) Ae'^'^-i-Be-.' 



il quale, astrazion fatta da una costante che si può sempre aggiun- 

 gere a z, possiede pure la forma di prodotto di due funzioni, l'una 

 della sola u, l'altra della sola io. 

 Da queste due espressioni di u e z \n funzione di v, w si ricavano 



