676 E. BELTRAMI, FUNZIONI POTENZIALI DI SISTEMI SIMMETRICI, ECC. 



le seguenti due equazioni per determinare v e w ia funzione di uè z: 



4ABu^ 



■+- —. r? = l. 



4ABc^w- -^ A.w -i- B. I Ai 



^ABc 



Queste equazioni rappresentano due famiglie ortogonali di coniche 

 omofocali, i cui fuochi comuni sono sull'asse delle u alla distanza 

 s/\6ABB,c' -/If 

 ^ HABc 



dall'origine. Se questa quantità è immaginaria, l'asse focale cada 

 invece sull'asse delle z: In ogni caso i valori ed i segni delle co- 

 stanti debbono essere scelti in modo che le curve v = cost. siano 

 ellissi. 



Ritorniamo alle equazioni (1), per introdurre in esse al posto delle 

 coordinate rettangolari u e z le coordinate polari r e 0, legate alle 

 precedenti dalle formolo 



M=rsen0, s = rcosO. 

 Avendosi, per qualunque funzione tp , 



li = ^sene-H|lcos6, 



se si pone cp = W, e si sostituiscono nei secondi membri 1 valori di 

 ^ — , i^ — dati dalle (1), si trova 



:- w r-^ sen - -^ cos 



^=,JiIeosO + ^sene 



^0 \^z ^u 



ossia, tenendo conto delle equazioni che si ottengono facendo cp = F, 



|E=_.e„o|i:, ^ = r^.ene|I. ,13, 



Queste sono le relazioni che tengon luogo delle (1) quando le va- 

 riabili siano le coordinate polari. Eliminando alternativamente W e V 

 si trovano le equazioni differenziali di 2° ordine 



^f.33e,o^l4-4(seno|lUo 

 ^rUenO a^- / aoU-'senO ^9 



