F. CASORATI, SULL\ INTEGR. DELLE EQUAZ. ALGEBRICO-DIPFERENZIALI, ECC. 803 



Ammesso che sia (2) la integrale generale della (1), e senza re- 

 stringere le m a significare numeri razionali, ognuna delle <\i egua- 

 gliata a zero darà un'integrale particolare della (1), ossia darà luogo 

 alla identità fondamentale 



che giova massimamente nella determinazione delle integrali parti- 

 colari algebriche, e dove cp, significa funzione intera di x,y del grado 

 »? — 1 . Tralasciando per adesso l'indice s e ponendo 



tl> = ;:» + X j/ -h w- , (4) 



la (3) diviene 



y.(co,ìj)\ -^{x,y) — {x + \y ■\-^)<s^[x,y) . (5) 



Per determinare tutti i sistemi di valori per X, (x e pei coefficienti 

 di 9 atti a rendere identicamente vera la (5), si avrebbero le r,n[n + 1) 

 equazioni che risultano dall'eguagliare tra loro i coefficienti dei ter- 

 mini simili dei due membri di essa (5). Giova trovare in prima tutti 

 i possibili valori di X. Perciò, designando con 



fl'o-" +a^x'^-'^y-^ ■ .. + ««?/" 



h^ re'"- + b^ .t»-! t/ + + ^ny^ 



i gruppi dei termini d'ordine piìi elevato in a(a;, y), ^(.cp,?/), cp, egua- 

 glieremo tra loro i coefficienti delle due espressioni 



K^-^o)^" + («i^ -ài)x^~'^y -h... + (f^nX-Z'n^2/" 

 (a;4-X?/)(Xor"-i + Xj.'c"-2?/+ . . . + Xn-it/"-^) 

 ed avremo 



(6) 



On-lX — b,i-\ = Xrt_i -\- x„_2X , 

 O^X -—In = Xn-lX; 



e moltiplicando queste equazioni ordinatamente per X«,— -X*»-!, 

 X'*-2, . . . , ±X, T 1 e sommando, otterremo l'equazione 



„^\n+l _ (a^ + b^) X'* + (aj + b^) X'*-i - . . . T (^h + ^n-i) X ± hn - , (7) 



