806 F. CASORATI, SULLA INTEGR. DELLE EQUAZ. ALGEBRICO-DIFFERENZIALT, ECC. 



le cui n + 1 radici sono tutti i possibili valori di X. Oltre di questa 

 equazione, le (6) danno subito Xg, x^^, . . . , x„_i razionalmente in l. 

 Indi si otterrebbero, pure razionalmente in X , il coefìSciente [x e tutti 

 gli altri 2*n(w — 1) coefficienti di cp dalle rimanenti |M(n + l) egua- 

 glianze dei termini simili della (5). Queste eguaglianze sono essen- 

 zialmente diverse tra loro, ed il loro numero supera di w — 1 quello 

 delle incognite. E però, se vuoisi che per tutti gli n + l valori 

 di X, che sono radici della (7), la funzione oi. {x , y) l — ^ {x , y) si de- 

 componga nel modo (5), bisogna assoggettare i coefficienti di ci.(x,y) 

 e P(x,y) ad (n + 1) (« — 1) condizioni. 



Ora, considerando questo caso generale, dico, che, soddisfatte 

 queste condizioni, la (1) ammette la integrazione a cui miriamo, 

 ossia dico, che, avendo luogo in n-i-l maniere differenti la 

 decomposizione (5), ha pure luogo senz'altro la inte- 

 grazione della (1) sotto la forma (2). Questa proposizione 

 scende dal teorema che segue; il quale appartiene ad una classe di 

 teoremi assai degni di nota, e che riescono assai utili in ispecie nelle 

 ricerche d'integrabilità per mezzo di funzioni razionali intere di 

 qualsiasi grado, insegnando a comporre la soluzione generale me- 

 diante un certo numero di soluzioni particolari. Il teorema sussiste 

 e perciò lo enuncio in condizioni un po' più larghe di quelle che oc- 

 corrono nella presente indagine. 



Se siano 



n+l funzioni lineari di due variabili a;,y, le quali 

 non si annullino simultaneamente che due a due, e 



«I>1, 4*^,...,it*n^l 



altrettante funzioni di grado n — I, tali che, molti- 

 plicate rispettivamente per le precedenti, diano per 

 prodott i 



aXj — pj , oc Xg — p , , . . , aX,i-|_i — p , 



dove Xj, Xg, . . . , X^+i significano quantità costanti; in 

 tali condizioni le ^P avranno tra loro una relazione 

 lineare omogenea, cioè sarà identicamente 



Wj <I>j + mg <I>2 + . . . + mn+i ^n+l = , 



significando m^ , m^ , . . . m,i4-i quantità costanti. 



Per dedurre da questo teorema la proposizione sopra enunciata, 

 basta imaginare che le ^ sieno gli n + l fattori lineari x + 'ky -h [j., 

 che entrano nelle n+ I decomposizioni (5), i quali soddisfanno la con- 



