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F. CASORATI, SULLA INTEGR. DELLE EQUAZ. ALGEBmCO-DIFFERENZIALI,ECC. 807 



dizione supposta nelle ^F. In tal caso il teorema esposto ci fa sa- 

 pere che tra le -^ lui luogo una relazione della forma 



m^■^^ + WgCpg + • • • + >«n+i <^n+i = . (8) 



Ma per le (3) questa relazione traducesi nella 



ì^idy ^n+i dì/ j 



'Il ^-^ * " 'f't+i d'^ ) 

 ossia nella 



dy ^ dee 



e questa esprime appunto che la (2) è integrale generale della (1). 



Consideriamo, ad esempio, il caso in cui a e [5 siano di secondo 

 grado. La (1) sia ora dunque 



a.dx + ^dy — {ax^-^ 2bxy -{- cy^ -b2e x + 2fy + g) dx + 



-^{ciiy^-i-2biyx + c^x^ + 2eiy + 2f^■v + g^)dy = 

 Le (6) divengono 



a X — Cj = Xq , ^ \ 

 2bl-2b^^y.^ + y.^l, (11) 



ci — a^^^= y.jX, j 



e danno la equazione 



aX3_(2J + Ci)X2 + (c4-2Z*jìX-rt, (12 



non che le espressioni di X(,,Xj in termini di X . E posto 



le tre eguaglianze rimanenti tra i coefficienti della (5) sono 

 2eX-2/-, = x„.;. h V, \ 

 2/'X-2ei-=x,a 4-Xv, J (13) 



g\- ^j = va, ] 



le prime due delle quali danno jjl e v , e la terza dà la condizione 

 tra i cofficienti di a(a7, y) , p(a7, t/) affinchè sia possibile la decompo- 

 sizione (5) per una radice della (12). Questa condizione, osservando 

 l'insieme delle equazioni (11) e (13), e come d'altronde è noto, con- 



