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 lo saranno anche le (GJ. Da queslo si deduce l'acilnienle 

 che /S dovrà essere una l'unzione omogenea e di grado 

 zero delle q ; ed i secondi membri rappresenteranno le de- 

 rivate di una stessa funzione soltanto quando si abbia 



condizioni che sono veriflcate quando U è funzione omo- 

 genea e di grado — 2. Abbiamo dunque i! teorema: Se le 



A,.^. sono uguali a zero per r s, eie A^.^, sono coslanli 



fra loro uguali, la equazione 



ove (p,, è vna funzione omogenea e di grado zero delle q , 

 sarà ini integrale comune ai problemi nei quali U è fun- 

 zione omogenea e di grado — 2, e (f(, è legata ad U dalle 

 equazioni 



''(po di) 



dqh ^'' dqh ''' 



Se le A^.^. , pure essendo costanti, sono fra loro dis- 

 uguali, si soddisfarà alle (7,J prendendo 



e saranno verificate le (0^) quando tra /S ed U abbiano 

 luogo le relazioni 



dp (ì\] dU 



le quali mostrano che se esiste una funzione (2 che sod- 

 disfi a queste equazioni, essa dovrà essere omogenea e di 

 grado zero rispetto alle 7; ma perchè ciò avvenga occorre 



che la U soddisfaccia le ——^ , equazioni a derivate 



parziali del secondo ordine che si ottengono uguagliando la 



