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13. Consideriamo ora il caso che fra i parametri esi- 

 stano delle relazioni. 



Supponiamo in primo luogo che i parametri a e 6 deb- 

 bano soddisfare ad un dato numero r di equazioni fluite, 

 essendo r minore di m. Allora queste r equazioni, le n-^\ 

 primitive (I) e le prime m—r equazioni di uno dei sistemi 



sono sufficienti per ehminare tutti gli n-\-m parametri. 

 Ma la risultante di tale eliminazione è in tal caso un' equa- 

 zione alle derivate parziali dell' ordine m — r della fun- 

 zione z. E ciò è ben naturale, perchè, in virtù delle r 

 equazioni cui devono soddisfare i parametri, le funzioni 

 effettivamente arbitrarie sono in numero di m — r. 



4 4. Se i parametri, invece di essere legati fra loro con 

 equazioni finite, devono soddisfare ad equazioni differen- 

 ziali date ad arbitrio, allora è impossibile poter pervenire 

 ad una sola risultante il cui ordine non superi il numero 

 delle funzioni che effettivamente rimangono arbitrarie. Per- 

 chè, infatti, si dovrà ricorrere alle equazioni (8) o (9) o ad 

 altre analoghe che siano atte a determinare i valori delle 

 derivate dei parametri. Con qneste equazioni, colle date e 

 coi sistemi ausiliari è facile comprendere come la elimi- 

 nazione dei parametri e delle derivate di essi conduca a 

 più equazioni a derivate parziali di ordine superiore alle 

 funzioni arbitrarie che effettivamente sussistono. In queste 

 ipotesi, che i parametri siano legati fra loro da relazioni 

 differenziali, vi è un caso speciale che merita di essere 

 in particolar modo considerato, come quello che conduce 

 ad una risultante unica alle derivate parziali di ordine 

 eguale al numero delle funzioni che effettivamente sono 

 arbitrarie. Di questo caso intendiamo subito di occuparci; 

 ma per le applicazioni che abbiamo in vista di fare, suppor- 

 remo di avere tre sole variabili, delle quali indicheremo 



