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17. Proponiamoci ora di ricercare l'equazione alle de- 

 rivate parziali rappresentante tutte le superficie rigate, cioè 

 descritte da una retta che si muove nello spazio con legge 

 qualunque. 



Le due equazioni della generatrice non contengono in 

 effetto che 4 parametri arbitrari. Ma, affinchè una linea 

 qualunque generi una superficie, bisogna che la sua posi- 

 zione non possa variare che in un solo senso determinato. 

 Dunque, nelle equazioni della generatrice rettilinea, tre dei 

 quattro parametri si dovranno riguardare come funzioni 

 arbitrarie del quarto. Di qui segue che tutte le superficie 

 rigate si possono rappresentare con un' equazione unica 

 alle derivate parziali del terz' ordine, come già fece vedere 

 il Monge. 



Consideriamo le equazioni della generatrice sotto la 

 forma 



y :=! ax -\- b , z z=: ex -\- d , 



in cui riguarderemo b , e , d funzioni arbitrarie dell' ar- 

 gomento a. Qui porremo 



f=-z — ex — d , g^=^y — dx — ^ , 



ed applicheremo il primo metodo, formando le funzioni au- 

 siliarie q) . Intanto per abbreviare la scrittura, porremo 

 col Monge : 



ìiH ì>^z ;)3. 



Ora si ha : 



