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p ~h oq — e =: , 



r + 2as -i- aH = , 



u ■+- Saco -+- Za^w + a^v = , 



e quindi si ricade nelle prime. 



Si vede dunque che i tre metodi conducono agli stessi 

 risullaraentì, come dev' essere. 



\8. Se la generatrice fosse obbligata ad incontrare 

 r asse delle z, basterebbe supporre ^ = 0, e considera- 

 re le due equazioni 



y z=i ax , z:=^cx -{- d , 



con e Q d funzioni arbitrarie di a. 



Di qui si deduce intanto che la equazione 



xc, 



/?/ . , q fy\ 

 Uy +" KZ) ' 



con e e d funzioni arbitrarie di - esprime tutte le su- 



X ' 



perficie generate da una retta che si muove con una legge 

 qualunque incontrando sempre T asse delle z. 



Volendo 1' equazione a derivate parziali di questa fami- 

 glia di superGcie, basta eliminare a fra le 



y = ax e (p^ = r -{- 2as -h «'^f = . 



Il risultato di tale eliminazione è: 



x'^r -+- 2xys + |/^< = , 



alle derivate parziali del second' ordine, come dev' essere. 



Di qui, con un cambiamento di assi, si può dedurre 

 le equazioni in forma lìnila e differenziale delle superficie 

 rigate a retta direttrice qualunque. 



19. Volendo considerare le superficie rigate a piano 

 direttore, si può supporre che la generatrice rettilinea sia 

 parallela al piano delie xy, e quindi e — 0. L'equazione 

 finila è 



y — xa{z) — h(z) rr- , 



