— 121G — 



nerali'ice della superficie contengono in sostanza 6 para- 

 metri arbitrari, di cui, naturalmente, cinque si dovranno 

 riguardare come funzioni arbitrarie del rimanente. Di qui 

 segue che tutte le superficie generate nel modo più ge- 

 nerale da una circonferenza, si possono rappresentare con 

 un' equazione unica alle derivate parziali del quint' ordine. 

 Siano, in coordinate ortogonali cartesiane, a, 6, e le 

 coordinate del centro di un cerchio di raggio p. Esso può 

 rappresentarsi colle due equazioni: 



(I) ^ = (- - ^y- + (^ - ^)' -»- (^ - «)' - p' = ^ 



g~ {z~c)~e{y — b) — d{x — a) = , 



di cui la prima rappresenta una sfera di raggio p e di 

 centro (a, b, e), e la seconda un piano passante pel cen- 

 tro della sfera. Il risultato della eliminazione dei sei para- 

 metri, cr, b, e, d, e, p, di cui cinque dovranno riguardarsi 

 come funzioni arbitrarie del rimanente, esprime tutte le 

 superficie di caratteristica circolare. 



Per eseguire effettivamente la eliminazione, useremo 

 il secondo metodo, cioè prenderemo per funzioni ausiliarie 

 le 4,. Ma per abbreviare alquanto la scrittura, oltre i soliti 

 simboli rappresentativi delle derivate parziali di 2, por- 

 remo pure: 



d^y __ à^z 



poi, per le derivale parziali di z di ordine superiore al 

 terzo, porremo coli' Imsclienetsky, z^.^** per designare la 

 derivata parziale di z, ottenuta derivando i volte rispetto 

 ad X e li volte rispetto ad y . 



Si noti così la differenza, p. e., fra i due simboli z^^^^ 

 e z^: \\ primo esprime la derivata ordinaria del quarf or- 

 dine di I rispetto ad oc; il secondo la derivata parziale 

 del quarf ordine di i rispetto ad »/, ecc. 



