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 somma di radici, quando le radici di una equazione bino- 

 mio si distribuiscono in due periodi; la regola che in quella 

 occasione aveva data era giusta, ma egli non aveva saputo 

 dimostrarla. In questo luogo infatti egli aveva avvertito che 

 se 11 sia un numero primo dispari, k un intiero non divi- 

 sibile per «, P la circonferenza d' un cerchio di raggio i, 

 cioè 22r, S[iH] la somma dei residui quadratici di w, e 

 2[9?] la somma di tutti i non residui quadratici positivi 



di w, si ha nel caso di n~\ (mod. 4) (cioè di 



A 



pari) : 



2 

 2 



COS. > COS. — dr^,, (j) 



sen. — >■ sen. = : 



11 <ted n 



n—\ 



e nel caso di n — 3 (mod. 4), cioè di —^ — dispari: 



2 

 2 



mp ^ 13ÌP ^ 



COS. ^ COS. =^ 



n ^md n 



sen. 



-'^sen.^=Hrv/« (2) 



affermando inoltre che nelle formule (I) e (2) si deve pren- 

 dere il segno -t- se k è residuo quadratico di n, ed il se- 

 gno — se A: è non residuo, senza che di tale asserzione sia 

 data alcuna dimostrazione. Questa dimostrazione viene for- 

 nita con ogni particolare dal principe Doncompagni in ap- 

 posita nota (*). Ora il passo della lettera del Gauss, al quale 

 abbiamo ultimamente accennato, ci apprende eh' egli era 

 finalmente riuscito a trovare la dimostrazione, che per quat- 

 tro anni aveva invano cercata. 



(I) Intorno ad una lettera di Carlo Federico Gauss al D.^ 

 Enrico Guglielmo Mattia Olhers. Memoria di B. Boncompagni, ce. 

 pag. 29, nota (3). 



