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 I raggi del sistema saranno dati da tutte le rette che si 

 appoggiano ad una coppia qualunque delle quattro direttrici 

 u^ . Il sistema sarà proiettato secondo due stelle collineari, 

 con un raggio comune, da due punti qualunque della retta 

 2, . Esso è della sesta classe. 



20. 5.° Caso. Le stelle non hanno alcun elemento co- 

 mune. 



Si considerino tre punti singolari S^^'^ sj^^^ sj^'^ del 

 sistema e sia a,^ il loro piano. Al fascio di primo ordine, 

 nella stella Ilo, formato dagli spazi a quattro dimensioni 

 che hanno per base comune lo spazio fio i'^'i)-, corrispon- 

 de il fascio nella stella Hq^*^ > che ha per base lo spazio 

 •^0^*^ (^2)- Questi due fasci generano un cono quadrico a 

 quattro dimensioni C^"-. Su ognuno degli spazi generatori 

 del cono, cioè su ognuno degli spazi ordinari nei quali 

 si intersecano le coppie corrispondenti dei due fasci di 

 primo ordine, le stelle collineari Xl^ ^d H.,/*) determina- 

 no due sistemi collineari sovrapposti, i quali non potranno 

 avere in generale, oltre S^y\ S„^^\ S^'^^ che un solo 

 punto corrispondente comune. Siccome uno spazio qua- 

 lunque Q4 che passi per la base ct^ del cono non può 

 contenere più di due spazi generatori del cono, cosi in Q4 

 non vi possono essere, olire Sj*\ S^/''>, Sq^'^^ che due 

 punti, Sq^*) S(,^''\ secondo i quali si intersechino i raggi 



prospettive, hanno in generale (nello spazio fondamentale R4) solo 

 quattro raggi uniti, si considerino in R4 duo stelle So S'q non 

 concentriche e non prospettive. Sappiamo che in uno spazio qua- 

 lunque Xj non si trovano che quattro punti singolari nei quali si 



intersecano due raggi corrispondenti. Così anche in r^ non avre- 



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 mo che quattro punti singolari. La stella parallela ad S'o e con- 

 centrica e proiettiva ad Sq non avrà dunque con So altri raggi uniti 

 che quelli che proiettano i quattro punti singolari suddetti di ^^ • 



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