(•>:!(->) [4] 



come era da prevedersi, mancando ogni ragione determi- 

 nante la scelta tra le due, coll'escliiderne una si perdono 

 dei rilevanti vantaggi. Vedremo infatti come la considera- 

 zione simultanea delle due classi permetta di meglio ad- 

 dentrarsi nella natura delle ripartizioni, di cui si tratta, e 

 conduca a dei teoremi essenziali in questa teoria come 

 quelli, che ho posti a hasi delle definizioni della somnui e 

 del pi'odotto di due o di più numeri reali. 



Chiamato nell' anno scolastico 1890-91 ad insegnare 

 r Algebra complementare nella R. Università di Padova, 

 ebbi a convincermi che nel ritorno al concetto puro e sem- 

 ])lice di Dedekind stava il mezzo migliore non soltanto jìer 

 stabilire i principii della teoria dei numeri reali, ma altresì 

 per sviluppare poi con grande chiarezza e semplicità gli 

 altri capitoli dell' Algebra, che a ((uello direttamente si 

 connettono. 



Questo scritto, che nella sostanza e con alcune modi- 

 ficazioni ed aggiunte è la rijìroduzione di alcune lezioni da 

 me tenute in (quell'anno su tali argomenti, è diviso in due 

 parti. La prima concerne la introduzione dei numeri irra- 

 zionali e le operazioni fondamentali dirette ed inverse nel 

 campo di tutti i numeri reali ; e di questa vorrei potesse 

 giovarsi 1' insegnamento delle matematiche nelle scuole se- 

 condarie del nostro paese. La seconda parte contiene delle 

 dimostrazioni dei teoremi fondamentali sui sistemi e sulle 

 successioni infinite di numeri reali, le ([uali mi sembrano 

 atte a mettere in rilievo 1' eccellenza del concetto di De- 

 dekind anche dal punto di vista della introduzione del cal- 

 colo infinitesimale. 



Ho premessa una introduzione sulla teoria analitica dei 

 numeri razionali perchè, sebbene (questa si trovi egregia- 

 mente esposta anche in altri libri, per esempio, in quelb» 

 citato del Prof. Bettazzi, ho creduto opportuno che gli stu- 

 diosi trovassero qui, anche se esposto in modo sommario, 

 quanto è necessario premettere alla trattazione degli ir- 

 razionali. 



