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{a-\-b)+c={a-}-c)-}-b={c-{-b)-\-a: (a.b) . c=:={a.c).b={b.c).a , 



l'ig'uardano amoiidiic lo operazi^Jiii, mentre una terza legge 

 cioè la distributiva, 



{a-\-b) . c=^a . c-\-b .0 , 



riguarda soltanto la moltiplicazione. 



Tutta l'Aritmetica, e ([uindi 1' Algebra, cioè 1' Arit- 

 metica generale, è fondata su (jueste operazioni e sulle 

 loro })ro})rietà, dal che, ricordando anche quanto è stato 

 detto nella prefazione sul concetto matematico di grandezza, 

 segue che ai numeri intieri e positivi si potranno aggiun- 

 gere nuovi numeri alle condizioni seguenti : 



1." che si stabilisca un criterio, pel (juale, dati due 

 numeri qualunque del ststema cosi ampliato, si possa rico- 

 lujscere senza equivoco se essi sono eguali o disuguali. 



2.° che, estese opportunamente le operazioni fonda- 

 mentali al ricordato sistema, (jueste operazioni obbediscano 

 aneoi-a alle leggi caratteristiche sopra enunciate. 



(ìiova anche ricordare qui che noi possiamo dotare i 

 nuovi enti, che troviamo opportuno di introdurre in ma- 

 tematica, di i)roprietà affatto ar])itrarie, })urchè non in con- 

 traddizione fra di loro. 



Premesso ciò, supponiamo di conoscere soltanto i nu- 

 meri intieri e positivi e, dati due numeri a e b, proponia- 

 moci di sottrarre il numero a dal numero b , cioè di tro- 

 vare un terzo numero x tale che si abbia identicamente 



1 ) a-\-x = a. 



Noi vedremo subito che questa operazione è jìossibile 

 soltanto se è a <^b , ma, purché si riesca di soddisfare alle 

 condizioni sopra indicate, potremo ammettere la esistenza 

 di nuovi numeri, (nessuno dei quali potrà eguagliarsi ad 



