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un numerò qual si voglia intiei-o e i)0.sitivo) tali che sod- 

 disfacciano alla equazione (1) anche per a> h. Conside- 

 rando dapprima il caso di a = h introduciamo il numero 0, 

 definendolo come il risultato della sottrazione di un nu- 

 mero intiero e positivo a da un numero eguale per guisa 

 che tutti i numeri così ottenuti, qualunque sia a , debbano 

 riguardarsi come eguali fra di loro ed eguali a o. Di più 

 attribuiamogli tale proprietà, per cui, qualunque sia a , si 

 abbia 



o-{-a=^a-{-o = a. 



In secondo luogo per ogni numero intiero e positivo a 

 introduciamone un altro a' tale che si abbia 



a -\- a' = a' -[- a = 0. 



Questi nuovi numeri sono i numeri intieri e negativi 

 e due numeri come a ed a'' si dicono opposti fra di loro. 

 Due numeri intieri e negativi a^ e b' si diranno poi eguali 

 disuguali secondo che sono eguali o disuguali i numeri 

 ad essi opposti a e b. — Se ora riprendiamo in esame la 

 e(iuazione (1), o la equivalente 



a — b-\-,x^=o , 



vediamo che ad essa si può soddisfare anche nel caso di 

 a'>> b , poiché basta per ciò porre x = {a — b)'. 



Nel sistema, che comprende tutti i numeri intieri, po- 

 sitivi e negativi, e lo o , definiamo ora pei casi non ancora 

 considerati la somma di due numeri come risulta dalle po- 

 sizioni seguenti 



+ a' =- «/ -f = «^ , a'~^b' = {a + by 



' ' ){a — b) per & <: « 



