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Siano ora a q h due numeri r izionali non eguali e, 

 per esempio, a -<. ì). Poiché si ha 



a-\~h b — a ^ lj-\-a a — b 



a^b , 

 il numero — ^ — sarà compreso tra a e b. Nello stesso modo 



^ ciA-b 

 SI può trovare un numero compreso tra a ed — - — ovvero 



tra — ^ — e b , e poiché la interpolazione del nii'dio arit- 

 metico tra due numeri razionali non eguali può sempre 

 eseguirsi, ahbiamo cosi una dimostrazione analitica del se- 

 guente teorema, del quale dovremo fare uso ripetuto. 



Se a e b sono due numeri razionali non eguali qua- 

 » lun(|ue, si possono sempi'e determinare degli altri numeri 

 » razionali tutti compresi fra a e b , disuguali fra di loro 

 » ed in numero grande (juanto si vuole. » 



Questo teorema e quelli dimostrati sopra, che risultano 

 evidenti quando si fa uso di una qualunque rappresenta- 

 zione dei numeri, dovevano essere qui stabiliti con apposite, 

 per quanto semplici, dimostrazioni. Dimostriamo anche il 

 teorema seguente 



Se a e b sono due numeri razionali positivi disuguali 

 » ed il un numero intiero positivo, esiste sempre un nu- 

 » mero razionale })Ositivo, la cui potenza n. *'"'"' è compresa 

 » tra a e b. y> 



Supponiamo a <:.b e scegliamo dapprima un numero 

 razionale positivo g tale che si abbia 



g^ > a , 



indi un iiiiuiei'o razionale e positivo u tale clie sia 



b — a 



'li < 1 . U < —, j — 7TT \ . 



