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PARTE PRIMA 



Concetto fondamentale 

 ed elementi della teoria dei numeri reali. 



2. Concetto di numero reale in geneìmle. — Come la 

 sottrazione e la divisione conducono rispettivamente ai nu- 

 meri negativi ed ai numeri fratti, così dalla estrazione di 

 radice può ripetersi la prima origine del concetto di nu- 

 mero irrazionale, con questa differenza che, mentre quelli 

 occorrono tutti e sono sufficienti per potere eseguire sem- 

 pre la sottrazione e la divisione, non può dirsi altrettanto 

 di questi rispetto alla estrazione di radice, poiché tra i nu- 

 meri irrazionali ve ne sono intiere categorie, che non pos- 

 sono riguardarsi come provenienti da tale operazione, e 

 questa non si può sempre eseguire coi soli numeri irrazionali. 

 E quindi necessario fondare il concetto di numero irra- 

 zionale sopra una proprietà, che appartenga anche ai nu- 

 meri razionali, di cui i nuovi numeri debbono essere una 

 generalizzazione, ma che non li caratterizzi affinchè possa 

 servire a definire una classe più estesa di numeri. Questa 

 })r()prietà dovrà essere indipendente dalla operazione di 

 estrazion di radice ; ma ci riserberemo di esaminare poi 

 quale maggiore estensione si possa (hire a questa opera- 

 zione dopo introdotti i nuovi numeri. 



l'n qualunque numero razionale a separa tutti i nu- 

 meri razionali in due categorie o classi At ed A^, di cui 

 la ]irima cniii[)reiì(h' tutti i uumei'i minori (^ la. seconda 

 tutti quelli maggiori di a. Se si \uole che ({uesia ripai'ti- 

 zione dei numeri razionali in due (dassi sia tale che ogni 



