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Ilunu'l^» )'azi()iiale aj)i);ii'*("ì<4-a ad una o ad una sohi delle 

 duo classi couvione aaribuii'e a ad Aj ovvero ad \-i ad 

 arbitrio. Nel primo caso esisterà ludla (dasso Aj un ninnerò 

 (il numero a ) maggiore di tutti gdi altri, cioè la classe Ai - 

 avrà un 'inassimo, mentre nella classe Ag non esiste alcun 

 numero minore di tutti gli allri, cioè questa classe non 

 avrà un minimo. Se infatti (jucsto minimo esistesse, desi- 

 gnandolo con b , i nuiiiei'i razionali compresi tra a e b 

 non troverebbei'o posto né nella classe A| nò nella classe 

 A.2. Nel secondo caso, invece, la classe Ai noiì avrà mas- 

 simo e la classe A.2 avrà un minimo (il numero a). 



Possiamo dunque concludere che le ripartizioni (A^A^) 

 di tutti i juimeri razionali in due classi •desunte dagli stessi 

 numeri razionali nel modo esposto sojìra sono dotate delle 

 projìrietà seguenti 



X) Ogni numero razionale trova posto in una ed in 

 una sola delle due classi 



P>) Ciascun numero della (dasse A| è minore di tutti 

 ([uelli della stessa Ao. 



C) la classe Ai ha un massimo, o la classe A-^ ha 

 un minimo. 



E chiaro che, reciprocainente, ogni ripartizione dei nu- 

 meri razionali in due classi Ai A.2 dotata di tutte (jueste 

 proprietà })uò riguardasi come desunta nel modo es[)Osto 

 dal numero razionale a , che è il massimo della classe X[ 

 ovvero il minimo della classe A.2. Esistono però ripartizioni 

 dei iiuinei-i razionali in due classi dotate delle projìrietà 

 A) e 1>) ma non della proprietà ('). In altri termijii si pos- 

 siono prescrivere delle leggi o dare dei criteri, i (juali, 

 scelto ad arbitro un numero razionale, permettano sempre 

 di decidere se esso debba attril)uirsi ad una classe Ai ov- 

 vero ad una classe A., e tali elie la riparti/ione (A| A-j) è 

 dotata delle pi'oprietà A) e 1!) ma non didla ('). Se. [km- 

 esempio, si considera un numero intiero e positi\d e . ehe 

 non sia ([uadrato perfetto, e si atti'ibuiscono ad una classe 

 e, funi i numeri razionali negativi, lo o e quei numeri 



