(•i50) [18] 



razionali positivi, il cui quadrato è minore di e, e ad una 

 classe 0-2 tutti gli altri numeri razionali, la ripartizione 

 (Ci €-2) è evidentemente dotata delle proprietà A) e B) ma 

 è tale che non esiste né un massimo nella classe Ci né un 

 minimo nella classe 0-2 {^) cioè manca della proprietà G). 



Chiamerò ripartizione di Dedekind (2) ogni ripartizione 

 dei numeri razionali in due classi, la (|uale sia dotata delle 

 proprietà A) e B) e, designando una tale ripartizione con 

 un simbolo della forma (Aj A^), si intenderà sempre che 

 la lettera Ai rappresenti la prima classe, cioè quella dei 

 numeri minori in confronto ai numeri contenuti nella se- 

 conda classe, che sarà rappresentata dalla lettera A^ . 



Secondo i concetti esposti nella prefazione, senza oc- 

 cuparmi di definire in sé stesso ogni numero reale non 

 razionale, stabilirò il seguente postulato : 



« Ad ogni ripartizione di Dedelviud corrisponde uno 

 » ed un solo numero, che si chiamerà numero reale. » 



Per indicare che a è il numero reale corrispondente 

 ad una ripartizione di Dedekind (Ai A2) scriveremo 



(1) Il Dedekind dà di ciò la dimosti'azione, che mi piace di riportare 

 qui per la sua eleganza. Posto 



:-•(»; '^ -4- 3c) 

 3 x° ~\- e 

 si hanno le identità 



T (e — .t"-) {x^ — c)^ 



,, — ,■ — ■4.-^-—-— , // 



2 ,. ~- 



Se dunque per .-• si pone un numero positivo della classe C, , pel 

 quale si ha quindi x- — e < , esiste un altro numero razionale //> .r, 

 pel quale si ha ancora ;/' <^ e , cioè un numero >/ > x , che appartiene 

 ancora alla classe C, . Se invece per .'■ si pone un numero della classe 

 Co e quindi si ha ,'■- > e , sai'à ;/ < .-• ed //- > e, cioè // apparterrà ancora 

 alla classe C, . Dunque ne la classe C, ammette un massimo, né la 

 classe C, ammette un minimo. 



(2) In italiano sembrami da proferire questa denominazione in con- 

 i'rnnto di quidla di sezioni-, che sarebbe la traduzione letterale della 

 parola Schnift naata da Dedekind. 



