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(A, A,) 



e (|ii('sl(» iiiuiu'i'o reale n sarà il iiiassinio della classe \y 

 o il iiiiiiiiiio (Iella elasse A-i , se la lipai'lizioiie è dolala 

 della pro})i'ietà ('), cosi che in questo caso il immei-o a sarà 

 un numero razionale. Se invece la ripartizione (Ai A-^) 

 manca della proprietà C), il numero a sai'à un nuovo nu- 

 mero, che si dirà irrazionale. 



Per {giustificare la introduzioiu' dei numeri ii-razionali 

 dolthiamo prima di tutto definire il concetto di e^uagdiauza 

 e di disuguaglianza nel campo di tutti i numeri reali. Pre- 

 mettiamo però alcune considerazioni. 



Siano (Al A-2) e (Bi B^) due ripartizioni di Dedekind 

 diirereuti tì"i di loro soltanto perchè un certo numero l'a- 

 zionale a , che appartiene, per esempio, ad Ai , ai)partiene 

 a B.2 , mentre del resto tutti i numeri di A[ ed A.2 appar- 

 tengono rispettivamente a Bi ed a B-2. Poiché per le pro- 

 prietà, che definiscono le ripartizioni di Dedekind, assieme 

 ad a ap})artengono a B^ tutti i numeri razionali maggiori 

 di a , per le ipotesi fatte, questi apparterranno pure ad A^ 

 e ([uindi il numero a sarà il massimo della classe A[. Ana- 

 logamente si dimostra che esso è il minimo della classe B-2 

 e però si può concludere che 



« Se due ripartizioni di Dedekind (A1A.2) e (BiBa) 

 > sono tali che la prima classe dell'una contiene soltanto 

 » un numero a non appartenente alla prima classe dell'al- 

 » tra, esse corris[)ondono amendue allo stesso numero ra- 

 » zionale a. » 



Abbiamo già notato che, quando una ripartizione di 

 Dedekind (Aj A^) corrisponde ad un numero razionale a , 

 è affatto arbitrario l'attribuire questo numero jìiuttosto alla 

 (dasse Al che alla classe A^. È quindi naturale considerare 

 come coincidenti due ripartizioni di Dedekind che (come 

 ([uelle, di cui ci siamo occupati ora) si distinguono 1' una 

 dall'alti-a pel solo fatto (die un certo numero razionale ap- 



