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partiene insieme alla prima classe dell'una ed alla seconda 

 classe dell'altra. Con questa convenzione noi potremo dire 

 elle ad ogni numero razionale corrisponde una sola ripar- 

 tizione di Dedekind, e che due numeri razionali sono eguali 

 o disuguali, secondo che le ripartizioni di Dedekind cori-i- 

 spondenti coincidono o no ; e in confoi'uiità a ciò potremo 

 stabilire il criterio di eguaglianza e disuguaglianza dei nu- 

 uieri reali in genere. Diremo dunque che 



« Due numeri reali sono eguali o disuguali secondo 

 » che le due corrispondenti ripartizioni di Dedekind, coin- 

 » cidono non coincidono. » 



Per (juanto si é detto sopra, due ripartizioni di Dede- 

 kind (Al A-2) e (Bi B-j) saranno da riguardarsi come non 

 coincidenti soltanto nel caso che la prima classe dell' una 

 contenga almeno due numeri m ed n contenuti nella se- 

 conda classe dell' altra. In (juesto caso però per le pro- 

 prietà caratteristiche delle ripartizioni di Dedekind tutti 

 i numeri compresi tra m ed n si troveranno nelle stesse 

 condizioni di (juesti. Premesso ciò, possiamo definire i con- 

 cetti di maggiore e minore nel campo di tutti i numeri 

 reali come segue 



« Se a ^ (Al A2) e & E (Bi B^>) sono due numeri 

 » reali, diremo che è b maggiore di a se infiniti numeri 

 » della classe P>i appartengono alla classe A^ ; e che è b 

 » minore di a se infiniti numeri della classe B-2 apparten- 

 » gono alla classe Ai. > 



Da questa definizione scendono senza difii(-,oltà i se- 

 guenti teoremi già dimostrati nel campo dei numeri ra- 

 zionali 



1.° * Se di due numeri reali n e b , a è minore di 

 </. b , b è })er conseguenza maggiore di a. * 



2.° « Se di tre numeri reali a , b , e e è a <::, b e 

 ^ b <^ e è pure a <::. e ; e se è n ':> b e b ">■ e è pure 

 » « > e. » 



Segue pure dalla definizi(jne stessa che un numei-o 

 reale a'^{Xi A^) è maggiore di tutti i numeri della clas- 



