(25(5) [-4] 



classe B-2 e F altro nella classe C-j. Il lemma resta così di- 

 mostrato. 



Poiché i numeri Bi -j- Cj sono evidentemente nunori 

 dei numeri B-j -{- 0-2 e, se esiste un numero (e secondo il 

 lemma precedente ve ne ha al più uno solo), che non possa 

 ridursi né all'una ne all'altra forma, è maggiore dei primi 

 e minore dei secondi, dal lemma precedente scende il se- 

 guente 



Teorema : « Se si hanno due ripartizioni di Dedekind 

 » (Bj B^) e (Ci Ca) e si attribuisce ogni numero razionale 

 » ad una classe Ai o ad una classe Ag , secondo che esso 

 » può ridursi alla forma Bi -j- Ci ovvero alla forma B-2 -|- C.2 

 » e si attribuisce ad ai'bitrio alla classe A| od alla classe A^ 

 » quel numero a , se esiste, che non può ridursi né all'una 

 » né all'altra delle forme indicate, la ripartizione (Aj A.2) 

 » é una ripartizione di Dedekind. » 



Chiamiamo questa ripartizione somma delle due ri- 

 partizioni (Bi B2) e (Ci C2) e dimostriamo che essa è unica 

 e determinata. Ciò é evidente se i numeri b E (^i Ba) e 

 e ^ (Ci C-2) sono amendue irrazionali. Se uno di essi è 

 razionale, o lo sono amendue, il dubbio può provenire 

 da ciò che essi possono essere attribuiti indifferentemente 

 alla })rima od alla seconda classe delle corrispondenti 

 ripartizioni. Però per torre di mezzo questo dubbio basta 

 osservare che 1:° se si suppone il numero b razionale ed 

 assegnato alla classe Bi e Ci <;; e ogni numero b -[- ^i , 

 indicando con C^i un numero compreso tra Ci e e , può 

 ridursi alla forma Bi + ^'i, essendo Bi <; & , cioè riguar- 

 darsi come somma di due addendi presi rispettivamente 

 nelle classi Bi e C; e differenti dai numeri & e e : 2° se si 

 suppone il numero b razionale ed assegnato alla classe B-2, 

 ogni numero b -\- C-2 può analogamente riguardarsi come 

 somma di un numero B.2 > b con un numero C-2 > e : 3.° 

 se, b e e essendo amendue razionali, si attribuiscono ri- 

 spettivamente ed insieme alle classi Bi e Ci , ovvero alle 

 classi B.2 e C-2 , il numero b -\- e è nel primo caso il mas- 



