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Simo della classe Ai e nel secondo il minimo della classe 

 A-2 , mentre, se b si attribuisce alla classe Bi e e alla 0-2 , 

 ovvero h alla B^ e e alla Ci, il numei'o h-\-c può otte- 

 nersi soltanto come somma di due addendi appartenenti 

 l'uno alla classe Bi e l'altro alla classe Cj , ovvero l'uno 

 alla classe Bo e 1' altro alla classe Ci e resta quindi in 

 nostro arbitrio l'attribuirlo alla classe Ai, di cui sai'à al- 

 lora il massimo, od alla classe A^ , di cui sarà il minimo. 

 Vediamo così che in questo caso resta dubbio soltanto il 

 posto da assegnare al numero a -\-b , il quale può riguar- 

 darsi come il massimo della classe Ai o come il minimo 

 della classe Ao senza che per questo si abbiano due ri- 

 partizioni distinte (n.° 2). 



Mentre abbiamo dimostrato quanto era stato asserito ve- 

 diamo cosi anche che, se ^ ^ (Bi B-j) e e ^ (Cj C^i) sono due 

 numeri razionali ed (Ai A-j) è la ripartizione di Dedekind 

 somma delle due ripartizioni (Bi 6-2) e (Ci C.2) , si ha 

 Z> -f- e ^ (Al A2), cioè a questa somma corrisponde un nu- 

 mero razionale e precisamente il numero somma dei due 

 corrispondenti alle ripartizioni addende. Secondo il postu- 

 lato del n.° 2 alla ripartizione (Ai Ao) corrisponde sempre 

 uno ed un solo numero reale ed estendendo a tutti i casi 

 una definizione, che oi-a abbiamo visto valere pel caso già 

 noto della somma di due numeri razionali, definiremo quella 

 di due numeri reali qualunque come segue 



« La somma di due numeri reali b ^ (B1B.2) , e = (C1C.2) 

 » è il numero reale corrispondente alla somma delle due 

 » ripartizioni di Dedekind (B1B-2) e (C1C-2), » 



Dalla stessa definizione della somma di due riparti- 

 zioni di Dedekind risulta evidente che la addizione testé 

 estesa a tutti i numeri reali gode della proprietà com- 

 mutativa. 



Dimostriamo ora che 



« La somma di nn numero razionale b ^ (B1B.2) e di 

 » un irrazionale cE(CiC.2) è un numero irrazionale. » 



Por ciò basterà dimostrare che nella ripartizione (A1A.2), 



