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somma delle due ripartizioni (B^B-j) e (Cir-2) , la classe Aj 

 non ha massimo e la classo A-2 non ha minimo. Supponiamo, 

 il che ci è permesso, che il numero b appartenga alla 

 classe B| ed osserviamo che ogni numero Aj può mettersi 

 sotto la forma & -j- Ci e può sempre crescere perchè, per 

 ipotesi, il numero e essendo irrazionale, la classe Ci non 

 ha un massimo. Dunque la classe Ai non ha massimo e 

 in modo analogo si vede che la classe A-2 non ha minimo. 

 Se araendue i numeri J^ e e sono irrazionali, la 

 somma b -\- e sarà razionale se esiste il numero a , 

 che può ottenersi unicamente come somma di un numero 

 Bi con un numero C-ì di un numero Ci con un numero 

 B-2, e poiché un tal numero è allora maggiore di tutti i nu- 

 meri Bi -|- Ci e minore di tutti i numeri B-j-j-C-i , si avrà 

 precisamente Z* -j- e = a. 



4. Addizione di pi>' mmieri reali. — Consideriamo 

 insieme tre numeri reali 



a E (A1A.2) , b = (B1B.2) , e E (CiC^) 



e poniamo 



(« + ?>)=(DiD.2), 



convenendo qui ed in generale di attrihuire un numero, 

 se è razionale, alla prima classe della ripartizione di De- 

 dekind, che gli corrisponde. Se si pone anche 



(« + ^^) + cE(EiE2), 



alla classe E^ apparterranno tutti e soltanto quei numeri 

 razionali, che possono riguardarsi come somme di tre ad- 

 dendi razionali presi rispettivamente nelle classi Ao, B-2 e C-2. 

 Analogamente si avrà 



