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 il numero — . Xi > Xi apparterrà alla classe X''i. Se esso 



appartiene in pari tempo alla classe Xi, lo si può assumere 

 come nuovo numero Xi e concludere che anche il numero 



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appartiene alla classe X\. Se si ripete questo 

 ragionamento e si ntlette che i numeri razionali della forma 

 I — ) . Xi , nei quali p prende valori intieri e positivi cre- 

 scenti, crescono oltre ogni limite e quindi non possono 

 appartenere tutti alla classe Xj , si conclude che tra essi 

 ne esiste uno, che appartiene insieme alle classi X'i ed 

 Xwj. Se poi si parte da un altro numero X, , il quale di- 

 viso pel precedente non dia come quoziente una potenza 



iutiera di —, si previene ad un altro numero comune alle 

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classi X\ ed Xi>. Si ha dunque (n." 2) d'a' > ./;„ , cioè il nu- 

 mero Xa cresco o decresce con a e può coincidere col nu- 

 mero reale e positivo e ^ (C1G-2) per un solo valore di a 

 al più. In questo caso, })oichè il numero e si suppone ii'- 

 razionale, la classe Xi conterrà tutti e soltanto i nu- 

 meri della classe Ci e l'equazione (7) per ogni va- 

 lore positivo di jc appartenente alla classe Bi B2 darà 

 un valore di y appartenente alla classe C.y (\ e quindi 

 il numero a potrà ottenersi come prodotto di due fattori 

 razionali e positivi soltanto col prenderne uno nella classe 

 Bi e l'altro nella classe C-2, ovvero uno nella classe 6-2 e 

 l'altro nella classe (\. Se invece è :Ca <. e , la classe Ci 

 conterrà dei numeri necessariamente positivi della classe 

 X.2 e i fattori potranno quindi scegliersi uno nella classe 

 Bi e l'altro nella classe Ci. In fine, se è ^„ >• e, la classe 

 C.j conterrà dei numeri della classe Xi e i fattori potranno 



