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scegliersi uno nella classe B.2 e l'altro nella classe C^. Il 

 lemma resta cosi dimostrato. 



Questa dimostrazione, cambiate alcune parole, è quasi 

 la riproduzione di quella del n.° 3 e nello stesso modo si 

 possono riportare al prodotto di due ripartizioni di De- 

 dekind, ciascuna delle quali abbia nella prima classe dei 

 numeri positivi, le considerazioni svolte nel numero citato 

 a proposito della somma di due ripartizioni di Dedekind 

 qualunque. Possiamo quindi, risparmiando le dimostrazioni, 

 enunciare pel caso, che qui consideriamo, le proprietà e le 

 definizioni corrispondenti a quelle ivi svolte. Così al teo- 

 rema del n." 3 corrisponde il seguente 



Teorema : « Se {B1B-2) e (CiC-2) sono due ripartizioni 

 y> di Dedekind tali che tanto la classe Bj qaanto la Ci 

 » comprendono dei numeri positivi e si attribuiscono i 

 » numeri razionali positivi ad una classe Ai ad una 

 » classe A2 secondo che possono ridursi alla forma Bi . Ci 

 » (con Bi e Ci rappresentando dei numeri positivi delle 

 » rispettive classi) od alla forma B-j . C^ , se si attribuisce 



> ad arbitrio della classe Ai od alla classe A-2 quel nu- 



> mero a , se esiste, che non può ridursi né all' una né 



> all'altra delle forme indicate, e se infine si attribuiscono 



> alla classe Ai il numero e tutti i numeri razionali 



> negativi, la ripartizione (A1A-2) é una ripartizione di 

 » Dedekind. ^ 



Q.uesta ripartizione è unica e determinata e la chia- 

 meremo prodotto delle due ripartizioni (B1B-2) e (CiC-2). Se 

 i numeri />^(Bil)-2) e cE(C^iC2) sono razionali, essa cor- 

 risponde al numero razionale e [)Ositivo h.c. Ingenerale 

 diremo che 



« Il prodotto di due numeri reali e positivi h ^ (I)iI)-2) , 

 » ^(CiC^) é il numero reale e positivo corrispondente al 

 » prodotto delle due ripartizioni di Dedekind (BiBj) e 

 » (CiC,). ^ 



Da questa definizione risulta evidente la proprietà 

 commutativa della moltiplica/.ione applicatn ai numeri reali 



