\:M\] (2fì5) 



positivi ed 6 pur facile trarne la dimostraziono del se- 

 guente teorema 



< Il prodotto di duo numeri ruali positivi, di cui uno 

 » solo è razionale, è un numero irrazionale. > 



Il prodotto di due numeri reali e positivi hoc amen- 

 due irrazionali sarà razionale, se esiste un numero po- 

 sitivo a, che può ottenersi soltanto come prodotto di un 

 numero positivo della classe Uy per un numero della 

 classo C-2, di un numero positivo della classe ('i per un 

 numero della classe 15^^, nel qual caso sarà precisamente 

 h . c=-- a. 



Anche ai risultati del n." 4 corrispondono risultati del 

 tutto analoghi per il prodotto di un numero qualunque di 

 numeri reali positivi. Così abbiamo che 



« 11 prodotto di n ripartizioni di Dedekind (l>ilv2) , 

 » (CiC-i) . • . (MiM-i) , ciascuna delle quali ha dei numeri 

 » positivi nella sua prima classe, è la ripartizione di De- 

 » dekind (AiA-j) , che si ottiene attribuendo alla classe Ai 

 » tutti i numeri razionali della forma I)i.r|...Mi (con 

 » I)i , ('i , • . ^li designando dei numeri positivi delle ri- 

 > spettive classi), alla classe k^i tutti quelli della forma 

 » lì-ì . 0-2 . . M.2 ed arbitrariamente all'una o all' altra quel 

 » numero, se esiste, che non può ridursi a nessuna delle 

 » espressioni citate. * 



Diremo poi che 



« Il prodotto di più numeri reali e positivi b^ [lìiìì-i), 

 » e = (CiC-i) . . . m = (M1M-2) è il numero reale e positivo 

 » corrispondente alla ripartizione di Dedekind prodotto delle 

 » ripartizioni, che Corrispondono ai fattori. » 



Da questa definizione e da quella, che precede, risulta 

 evidente la proprietà associativa della moltiplicazione ap- 

 plicata ai numeri reali e positivi. 



Dalla definizione del prodotto di due numeri reali e 

 positivi si traggono, secondo il solito, quelle, che valgono 

 negli altri casi, che si possono presentare. 



Si stabilisce cioè che 



