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1." « 11 prodotto di due numeri reali, dei quali uno 

 » almeno è eguale a , è eguale a 0. » 



2.'^ « Il prodotto di due numeri reali negativi è e- 

 » guale al prodotto dei loro opposti positivi. » 



3.° « Il prodotto di due numeri reali h e e , di cui 

 » uno soltanto, per esempio e , e negativo, è eguale al nu- 

 » mero opposto al prodotto b. e' , designando con e' il nu- 

 » mero positivo opposto a e. » 



In seguito a queste definizioni le leggi commutativa 

 ed associativa già dimostrate per la moltiplicazione dei 

 numeri reali e positivi si estendono senza difficoltà alla mol- 

 tiplicazione dei numeri reali qualunque. 

 Quanto alla proprietà distributiva 



a .{b-\-c):= a .h-{-a .e 



è facile dapprima ridurre i diversi casi, che possono pre- 

 sentarsi, a questi due essenzialmente distinti 



\.^ a, h e e sono tutti positivi ^ 



2° a e h sono positivi e e negativo ed in valore as- 

 soluto minore di h. 

 Siano 



^'E(A, A2), hE{B, B,), e E (Ci Ca) 



e ricordiamo quanto si è convenuto, cioè di attribuire alla 

 1.''' classe delle ripartizioni corrispondenti 1 numeri razio- 

 nali. Se a , h e e sono tutti positivi, i numeri apparte- 

 nenti alla 2."- classe della ripartizione di Dedekind, che 

 corrisponde al numero a . {b -\- e), saranno tutti della forma 

 A2 (B-2 -1-^2) = A-2B2 -|- A^'C^ ed apparterranno quindi 

 tutti alla 2.^ classe della ripartizione, che corrisponde al 

 numero ab-^ac. Reciprocamente ogni numero di questa 

 clas.sc, designando con rt-j ed a^ dei numeri della classe 

 A-2 e con Jk, e r^ dei numeri rispettivamente delle classi 

 B2 e Ci sai'à d^lla foi'ma r/^^^i-f-a.jC-i <' poiché è a.2f4=rt-2T"2 



