! lulicaiido poi con .\y un numero p()siti\ (Mlolia chisse 

 A; qualunt(ue, purché digerente dal massimo, se esiste, 

 con \i' un altro numero della stessa classe maggiore di \[ , 

 poiché esiste sempre (n." I) un numero razionale positivo, 

 la cui potenza ni.'™" è compresa tra Ai ed A/, cioè un 

 numero positivo Bi, pel quale si ha Bi^« ">* Ai , si vede che, 

 se il numero Ai appartenesse alla classe Cy , si avrebbe 



Bi'«>B./B.2"..B.2C'«), 



disuguaglianza assurda poiché i numeri positivi Bi sono 

 minori di tutti i numeri B-^. Dunque ogni numero della 

 classe Al , escluso al più il massimo, appartiene alla classe 

 C|. Analogamente si dimostra che ogni numero della classe 

 A"2 , escluso al più il minimo, appartiene alla classe C-2 e 

 si può concluderò che le due ripartizioni (A1A.2) e (CiC-2) 

 coincidono, che cioè si ha « =1 />"» , ovvero 



m 



Abbiamo dunque che 



« Dato un numero reale e positivo a E (A1A-2) ed un 

 » numero intiero e positivo m esiste sempre un numero 



m 



» reale e positivo, che si indica col simbolo Va , la cui 

 » potenza rn/'"* è eguale ad a. Questo numero corrisponde 

 » alla ripartizione di Dedekind, che si ottiene attribuendo 

 » alla prima classe tutti i numeri razionali positivi, la cui 

 » potenza m/'""^ appartiene alla classe Ai, ed alla seconda 

 » classe quelli, la cui potenza m.'™^ appartiene alla classe 

 » A-2. » 



Se 7n è pari, dalle regole di moltiplicazione risulta 

 che 



tn 



« Non soltanto il numero positivo K« , quale è stato 

 » ora definito, ma anche il suo opposto negativo è tale 

 » che elevato alla potenza m/'"* riproduce il numero a. » 



