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PARTE SECONDA 



Postulato di Dedekind. — Teoremi fondamentali 

 sui gruppi e sulle successioni di numeri. 



12. — Rappresentazione geoìnetrica dei ni f meri reali. 

 Postulato di Dedekind. — Stabilita sopra una retta una 

 origine ed una direzione positiva e scelti ad arbitrio 

 una unità di lunghezza ed un punto P della retta, se si 

 attribuisce alla lunghezza OP un segno, riguardandola 

 come positiva o come negativa secondo che la direzione 

 OP coincide colla direzione positiva della retta o colla 

 opposta, ad ogni puuto P corrisponde (n.° 11) uno ed un 

 solo numero reale p , che misura la lunghezza OP. Reci- 

 procamente, scelto ad arbitrio un numero reale p , esiste 

 sempre sulla retta u]i punto P tale che il segmento OP, 

 tenuto conto anche della sua direzione, abbia per misura 

 il numero p ? Se il numero p è razionale, a questa do- 

 manda si risponde affermativamente fondandosi sul postu- 

 lato della divisibilità indefinita dei segmenti rettilinei. Per 

 rispondere affermativamente anche se il numero proposto 

 è un numero irrazionale qualunque, conviene ammettere 

 un postulato introdotto da Dedekind e che letteralmente 

 tradotto suona come segue 



«"c Se tutti i punti della retta vengono ripartiti in due 

 » classi per guisa che ogni punto della prima classe si 

 » trovi a sinistra di ogni punto della seconda classe, esiste 

 » uno ed un solo punto, che produce questa ripartizione 

 » di tutti i punti in due classi, questa divisione della retta 

 » in due paiti. » 



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