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Stabilito questo postulato, sia p ^ (P1P-2) un nu- 

 mero reale qualunque. E dapprima evidente che i punti, 

 che corrispondono ai numeri razionali Pi. sono a sinistra di 

 tutti quelli, che corrispondono ai numeri P-i . Se poi i punti 

 della retta si attribuiscono ad una classe Qi , le quante 

 volte abbiano alla loro destra dei punti corrispondenti a 

 dei numeri Pi e ad una classe Q-2 in ogni altro caso, la 

 ripartizione (Q1Q-2) dei punti della retta è di quelle consi- 

 derate nel postulato di Dedekiiul, e quindi esiste un punto 

 P, che separa i punti Q,| dai punti Qw2 per ,^^uisa che ogni 

 punto a sinistra di P è un punto Qi ed ogni punto alla 

 sua destra è un punto Q-j, Pei- conseguenza tutti i numeri 

 razionali Pj sono rappresentati da punti situati alla sini- 

 stra di Pj e tutti i numeri razionali Pa da punti situati 

 alla sua destra dal punto 1* stesso, se il numero p è 

 razionale, e questo numero misura in ogni caso il 

 segmento OP. 



Ammesso dunque il postulato di Dedekind, non sol- 

 tanto ad ogni punto P della i-etta corrisponde un numero 

 p, che dà in lunghezza e dire/ione il segmento OP, ma 

 ad ogni numero reale p corrisponde un punto P tale, che 

 il segmento OP è dato in lunghezza e direzione dal 

 numero p. Si ha cosi una l'appresentazione dei numeri 

 reali sulla retta, per la quale ad ogni punto della retta 

 corrisponde uno ed un solo numero reale, e ad ogni nu- 

 mero reale uno ed un solo punto della retta. 



13. — G?'uppi di numeri. Numeri limiti. Gruppi 

 derivali. — Più numeri reali considerati insieme costi- 

 tuiscono un gruppo ; il quale si dice finito se gli elementi, 

 clie lo costituiscono sono in numero finito; infinito invece 

 se è definito mediante una legge, che permetta di deter- 

 minare sempre nuovi numeri del gruppo, per quanto sia 

 grande il numero di quelli già determinati. Si chiama 

 numero limite di un gruppo infinito G ogni numero p 



