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quanto e sia piccolo, se ne potranno sempre trovare altri 

 tra p e p-|-£. Dunque 



« Per ogni gruppo infinito di numeri esiste sempre 

 » almeno un numero limite. Tutti i numeri limiti relativi 

 » ad un gruppo infinito G possono anche costituire un 

 » gruppo infinito. » 



14. — Limiti superiore ed inferiore di un gruppo 

 infinito di numeri. — Se si ha un gruppo infinito di nu- 

 meri G, e si sceglie ad arbitrio un numero positivo A, può 

 accadere che, per quanto A sia stato scelto grande, esi- 

 stano sempre numeri di G maggiori di A. Si dice allora 

 che il gruppo G ha per limite superiore Vinfìnito. 



Se un gruppo infinito di numeri G non ha per limite 

 superiore l'infinito, ed un numero razionale scelto ad arbi- 

 trio si attribuisce ad una classe Li o ad una classe h^ , se- 

 condo che esistono o non esistono numeri di G maggiori di 

 esso, la ripartizione (L^L-o) è una ripartizione di Dedekind. 

 Indicando con L il numero reale corrispondente e con s un 

 numero positivo piccolo a piacere, poiché tra L — t ed L 

 esistono sempre dei numeri razionali, i quali, per essere 

 minori di L. appartengono alla classe Li , esiste sempre un 

 numero di G maggiore di L — £, mentre, per una ragione 

 analoga, non esistono numeri G maggiori di L. Se il nu- 

 mero L appartiene al gruppo G, esso ne è dunque il mas- 

 simo. Se L non appartiene a G e con z si indica ancora 

 un numero positivo, che si può prendere piccolo ad ai-bi- 

 trio, per quanto piccolo sia £ , esiste sempre un numero 

 di G compreso tra L — £ ed L, e questo non potendo co- 

 incidere con L, se si fa decrescere £, risulta evidente che 

 in un intervallo da L — £ ad L, per quanto £ sia piccohi, 

 purché ■> . i numeri di G costituiscono ancora un gruppo 

 infinito e però L è un numero limite del gruppo G. Con- 

 cludiamo che 



« Se un gruppo infinito di numeri G non ha per li- 



