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considerare ordinatamente gli elementi di una successione, 

 se ne trovino sempre alcuni eguali ad un certo numero, 

 il quale si dirà ripetuto infinite volle nella successione. 



Si dice che una successione tj ha un limite Anito e 

 determinato A se, rappresentando con s un numero po- 

 sitivo qualunque, per quanto questo numero si scelga pic- 

 colo, esiste sempre nella successione un numero Hq tale 

 che tutti i numeri y , che vengono dopo ad i/a , soddisfanno 

 alla disuguaglianza 



a) I y — A I <; £ , 



rappresentandosi, al solito, con | a | il valore assoluto di 

 un numero qualunqne a. 



Da questa definizione risulta facilmente che se una 

 successione y ha un limite finito A , per quanto si scelga 

 piccolo un numero positivo s, esiste sempre nella succes- 

 sione un numero ?/o tale che, indicando con y^ ed y^ì due 

 elementi della successione, che vengono dopo ad ijq e del 

 resto qualunque, si ha 



«0 I !/i — IJ-i I ^ £. 



Ammettiamo reciprocamente che per una data succes- 

 sione y , scelto un numero e > o ma piccolo a piacere, 

 esista sempre nella successione un numero yo tale che la 

 diseguaglianza (a^) sia soddisfatta ponendo per y^ ed y^ , 

 due elementi qualunque di y successivi ad //„. E allora 

 chiaro che non possono esistere due distinti numeri ra- 

 zionali a e b'>-a tali che tra gli elementi di y successivi 

 ad un certo elemento t/o , per quanto questo si prenda 

 avanti nella successione, ve ne siano sempre alcuni mag- 

 gioi'i ed altri minori tanto di a qiuxnto di b . poiché di- 

 versamente la disuguaglia {ex.') non potrelibe essere soddi- 

 sfatta, contrariamente alla ipotesi, per s <. ?> — a. Dunque 

 la ripartizione (AiA-2) , che si ottiene attribuendo ad una 



