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classe A| tutti i nuinei'i razionali Ai , })er cui nella suc- 

 cessione y esiste un elemento ^„ tale che tutti i valori 

 di y successivi ad //„ sono maggiori di Ai , ad una classe 

 \.y tutti quei numeri razionali A-j , j)ei- cui esiste nella 

 successione y un elemento i/„ tale che, tutti gli elementi 

 di y successivi ad //„ sono minori di A-j , ed ai-bitraria- 

 mente all'una od all'altra classe quel numero razionale A , 

 se esiste, che non soddisfa né all' una né all'altra condi- 

 zione, è una ripartizione di Dedekind, alla quale in que- 

 st'ultimo caso corrisponde il numero A. Designando in 

 ogni caso con A il numero reale, che corrisponde a questa 

 ripartizione, poiché, se si designa ancora con z un nu- 

 mero "!> e del resto arbitrario, per quanto piccolo si 

 scelga £ , tra A — £ ed A e tra A ed A -{- £ vi sono sempre 

 dei numeri i-azionali appartenenti rispettivamente alle classi 

 Al ed Ao , esisterà sempre nella successione y un nume- 

 ro lJ^) tale che gli elementi di y successivi ad //o sono 

 compresi tra A — £ ed A -f- £ , cioè soddisfanno alia disu- 

 guaglianza (a). La successione y ha dunque per limite il 

 numero reale A. 



Questa dimostrazione del noto teorema fondamentale 

 sulla conilizione necessaria e sufficiente perchè una suc- 

 cessione di numeri reali abbia un limite finito e deter- 

 minato si trova nel citato opuscolo di Dedekind. 



