SULLA TEORIA 

 DELLE LINEE GEODETICHE 



E DEI SISTEMI ISOFERMl DI LIOUYILLE 



DEL s. c. GREGORIO RICCI 





Questo lavoro fa seguito a quello da me inserito nel 

 Tomo IV della Serie VII di questi Atti col titolo: Di alcune 

 applicazioni del calcolo differenziale assoluto eie. . . . Esso 

 ha per oggetto principale la ricerca degli integrali primi 

 quadratici omogenei per la equazione delle linee geode- 

 tiche ; ma ho creduto opportuno stabilire prima coi metodi 

 da me propugnati i princi})i ben noti della teoria di queste 

 linee. A ciò si riesce facilmente prendendo come punto di 

 partenza la equazione dei sistemi' geodetici da me data sotto 

 forma invariantiva assai semplice nel § 7 della citata Me- 

 moria, e tale è 1' oggetto del § 3 di questo scritto ; mentre 

 nei §§ i e 2 stabilisco certe espressioni canoniche per gli 

 elementi dei sistemi covarianti semplici e doppi. 



Data una espressione cp pel quadrato dell' elemento 

 lineare di una superficie, i coefficienti degli integrali primi 

 omogenei di grado qualunque m per la equazione delle 

 geodetiche sulla superficie stessa costituiscono dei sistemi 

 covarianti di ordine m, i quali associati alla forma cp go- 

 dono di una proprietà caratteristica notevole. Questa pro- 

 prietà, che viene dimostrata nel § 4, è rappresentata 

 analiticamente da m -j- 2 equazioni a derivate parziali 

 di \° ordine, cui debbono soddisfare gli m -\- 1 ele- 

 menti dei sistemi accennati. Stabilite cosi le equazioni 

 del problema per gli integrali primi di grado qualunque, 



