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nei §§ 5 e 6 esse vengono ridotte a forme più oppor- 

 tune per gli integrali di 1.° e 2.° grado, e mentre si 

 perviene senza difficoltà al teorema noto, secondo cui 

 la esistenza di integrali di \.° grado dipende da quella 

 di sistemi isotermi e geodetici insieme, per gli inte- 

 grali di 2° grado si dimostra analogamente che la loro 

 esistenza dipende da quella di sistemi isotermi dotati di 

 una speciale proprietà relativa alle curvature geodetiche 

 delle loro linee. Nel § 7 si vede poi che questa stessa 

 proprietà caratterizza i sistemi isotermi di Liouville, cioè 

 quei sistemi isotermi tali che, scelti opportunamente il loro 

 parametro u e quello v delle loro traiettorie ortogonali, 

 la forma fondamentale espressa per le variabili if e v as- 

 sume una espressione del tipo 



( U — V ) ( du^^ + clv'2 ) , 



U e V essendo funzioni rispettivamente dì u e v soltanto. 

 In pari tempo si trova per le funzioni U e V un signifi- 

 cato intimamente connesso colla forma canonica sopra men- 

 zionata del sistema doppio simmetrico, che ha per elementi 

 i coefficienti dell'integrale quadratico cercato. Cosi, mentre 

 è posta in nuova luce la ragione intima della equivalenza 

 dei due problemi, di cui uno riguarda la riduzione del- 

 l' espressione dell'elemento lineare di una superficie alla 

 forma di Liouville e l'altro la ricerca degli integrali primi 

 quadratici per la equazione delle geodetiche sulla superficie 

 stessa, si stabilisce una proprietà geometrica, che caratte- 

 rizza i sistemi isotermi di Liouville ; e nella espressione 

 analitica semplicissima di (juesta proprietà si ha un oppor- 

 tuno punto di partenza per lo studio dei due problemi 

 equivalenti. Il teorema generale del § 4 e i metodi se- 

 guiti pei casi di m = 1 ed m^'2 fondati in modo aff"atto 

 anatogo su quel teorema e sulle forme canoniche pei si- 

 stemi doppi simmetrici corrispondenti, di cui sopra si è 

 fatta parola, lasciano intravvedere la possibilità di esten- 

 dere i metodi stessi alla ricerca degli integrali di un grado 



