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qualunque m, purché si determini una conveniente forma 

 canonica pei sistemi simmetrici di ordine m. 



Per il teorema del § 6 la esistenza dei sistemi iso- 

 termi di Liouville sopra una data superficie dipende dalla 

 possibilità di soddisfare ad un certo sistema S di equazioni 

 simultanee tale che ogni sua soluzione ci dà uno di detti 

 sistemi. Il sistema S si riduce sempre alla forma di quelli 

 studiati dal Lie nel Capitolo X della I.^ Parte della sua 

 Theorle des Trans formationsgruppeìi ; dal che dunque si 

 può concludere che la equazione più generale dei sistemi 

 isotermi di Liouville contiene in ogni caso un numero fi- 

 nito p di costanti arbitrarie ; e riportare la loro determi- 

 nazione a ben noti metodi di integrazione. I paragrafi, che 

 seguono il settimo, sono appunto dedicati allo studio del 

 sistema S per riconoscere quali sono i differenti valori, 

 che p può assumere e stabilire per ciascuno di essi le 

 corrispondenti equazioni di condizione per la forma fonda- 

 mentale, le quali, come è naturale, dipendono soltanto dagli 

 invarianti, che si ottengono associando alla forma fonda- 

 mentale il suo invariante di Gauss, che indichiamo con G. 

 Troveremo così i risultati già noti per le superficie a cur- 

 vatura costante e per le superficie applicabili sopra le su- 

 perficie di rotazione, e daremo di più il criterio per rico- 

 noscere tra queste superficie quelle, che per la equazione 

 delle geodetiche ammettono due integrali quadratici in- 

 dipendenti fra di loro e dall' integrale di 1.° grado ben 



noto. 



Per le superficie non applicabili sopra superficie di 

 rotazione il sistema S si riduce a forma m:jlto semplice 

 quando si introduca come funzione incognita 1' angolo <];, 

 che le linee di un sistema isotermo di Liouville formano 

 con quelle di parametro G. Si perviene allora o ad una 

 equazione, che determina 1' angolo 2 ^p e quindi sulla su- 

 perficie considerata un sistema doppio ortogonale di linee ; 

 e in tal caso nella superficie stessa esiste al più un si- 

 stema isotermo di Liouville, se quello cosi determinato 



