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la quale contiene due costanti arbitrarie, rappresenta un 

 sistema doppiamente infinito di linee geodetiche. 



E questa colle formolo del calcolo differenziale asso- 

 luto, la dimostrazione del noto teorema : per determinare 

 sopra una superficie, il cui elemento lineare ha una espres- 

 sione data K 9 , un sistema doppiamente infinito di linee 

 geodetiche basta determinare un integrale contenente una 

 costante arbitraria non additiva della equazione (7) ; ov- 

 vero, il che equivale, un sistema coordinato X^. , il quale 

 contenga una costante arbitraria e soddisfi alle equazioni (6), 

 in cui (y) rappresenta una indeterminata. 



Si cerchi ora di determinare il sistema X,. mediante 

 una equazione della forma 



8) f{jCiJC^2XiX^) = c, 



in cui e rappresenta una costante arbitraria. Indicando con 

 fi la derivata di f rispetto ad x^ presa considerando le À,. 

 come costanti, avremo le 



^ df dX,. 



le quali, essendo (R , 2, (a) ) 



^Ij, ^'r> T^ '■'iMrn p ^ 



tenuto conto delle (6), assumono la forma 

 La eliminazione di (y) conduce da queste alla 



9) s,F)|/;. + s,,a,,,x<^')^| = o, 



la quale è necessario e basta sia soddisfatta indipendente- 

 mente dai valori di X^ e X2 perchè le Xi e X2 definite dal- 

 le (7) ed (8) soddisfacciano alle (6). 



