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p qualunque, se sono eguali a o le somme di tutti gli ele- 

 menti, che si ottengono da un elemento qualunque del si- 

 stema eseguendo sui suoi indici le p potenze di una stessa 

 sostituzione circolare. Il risultato, a cui siamo giunti, può 

 quindi enunciarsi come segue 

 « Perchè 



S ,, e A^ A A — C 



» sia un integrale primo per la equazione delle geodetiche 



» sulle superficie cp è necessario e basta che il sistema de- 



» rivato secondo <p dal sistema simmetrico covariante 



» e sia emisimmetrico ». 



r, r.2 . . . r,„ 



Da questo teorema risulta che le condizioni necessa- 

 rie e sufficienti perchè 1' equazione delle geodetiche sulle 

 superficie cp ammetta un integrale primo omogeneo di gra- 

 do m coincidono con quelle necessarie e sufficienti per la 

 esistenza di un sistema simmetrico di ordine in e tale che 

 il primo sistema derivato da esso covariantemente secon- 

 do cp sia simmetrico. Osserverò in generale che le espres- 

 sioni analitiche di questo fatto sono date da m-\-2 equa- 

 zioni a derivate parziali di ì.° ordine con m-\-l funzio- 

 ni incognite e che ad ogni sistema della natura indicata 

 corrisponde uno ed un solo integrale primo di ordine m 

 per la equazione delle geodetiche. 



5. _ Integrali di 1.° grado per la equazione delle 

 geodetiche. — Siano 



10) c, = pX, 



le espressioni canoniche degli elementi di un sistema sem- 

 plice covariante. Se ne traggono (M , 4 , (12) ) le 



Crs = 9.X + 9^/h 



