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linee, che sono isoterme e geodeticamente parallele. Vi- 

 ceversa se sulle superficie cp esiste un sistema di linee 

 dotate di queste due proprietà, poiché la (13) e la (14) 

 conducono (M , 10, (26)) alla 



si dimostra senza difficoltà (M , 8 , {a)) che esiste una fun- 

 zione determinata a meno di un fattore costante, la quale 

 soddisfa alla equazione (12). Troviamo cosi il risultato già 

 noto, secondo cui esistono integrali primi lineari per la 

 equazione delle geodetiche soltanto sulle superficie appli- 

 cabili sopra superficie di rotazione; e, se la superficie è a 

 curvatura variabile G, ne esiste uno solo. Vediamo di più 

 che in questo caso, se si indica con k,. il sistema coordi- 

 nato delle linee di parametro G, con g la loro curvatura 

 geodetica, con p un integrale qualunque del sistema com- 

 pleto di equazioni _ 

 9r = — 99K , 



r integrale cercato si ha ponendo 



Osserviamo poi che la funzione p si ottiene mediante sem- 

 plici quadrature e che, indicando con ']> V angolo delle li- 

 nee geodetiche Ir colle linee k,. , la equazione precedente 

 si può anche mettere sotto la forma 



p cos 4» = e . 



6. — Integrali primi quadratici per la equazione 

 delle linee geodetiche. — Siano ora 



15) c^s = vX,.X, -f pX^I, 



le espressioni canoniche degli elementi di un sistema dop- 



T. V, S. VII 



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