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Questa ci dice che il fascio di linee, a cui appartiene il 

 sistema "X,. , deve essere isotermo. Cercando invece le con- 

 dizioni perchè il sistema (17) sia integrabile e supponendo 

 sempre 5 differente da o si giunge alle 



19) -.,f\. = - 3y(y) , 2,(t)*'-'X, = 3t(t) , 



di cui la (18) è, naturalmente, una conseguenza (M, 10, (26) ). 



Poiché (R, 2) il sistema derivato dal sistema a^g secon- 

 do (p è identicamente nullo, esso è emisimmetrico, e dalle 

 (17) risulta che, se gii elementi del sistema e,., sono pro- 

 porzionali agii elementi corrispondenti a„, se cioè è 5^0, 

 il coefficiente di proporzionalità p = v deve essere costante 

 perchè il sistema c^gt sia emisimmetrico. E poiché tra i 

 sistemi Cf.g dotati di questa proprietà noi cerchiamo sol- 

 tanto quelli, che non sono della forma e , a^g con e co- 

 stante, possiamo supporre 5 differente da 0. Si osservi poi 

 che, se il sistema coordinato \. di un sistema di linee sod- 

 disfa alle equazioni (19), il sistema integrale generale delle 

 equazioni (17) contiene due costanti arbitrarie e, come 

 risulta dalla forma delle equazioni stesse, se se ne conosce 

 un sistema integrale particolare, il sistema integrale ge- 

 nerale è della forma c,p -|- c^ , c,v -[- Ca . Ne segue che, 

 se cVs è un sistema doppio simmetrico a sistema dirigente 

 {\y.,.), e se il primo sistema derivato da esso covariantemente 

 secondo cp è emisimmetrico, ogni altro sistema dotato di 

 questa proprietà ed avente lo stesso sistema dirigente ha 

 elementi della forma CiC^j-j-Ca^rs > ^i ^ ^2 essendo costanti ar- 

 bitrarie. Se dunque ci occupiamo soltanto di quei sistemi 

 doppi simmetrici, i cui elementi corrispondenti non sono 

 legati da una stessa relazione lineare a coefficienti co- 

 stanti, possiamo asserire che 



1.° « Se il primo sistema derivato covariantemente 

 » secondo 9 da un sistema doppio simmetrico c^., è emi- 

 » simmetrico, il sistema dirigente del sistema c,.g soddisfa 

 » alle equazioni (19) ; e che reciprocamente ad ogni siste- 

 » ma dirigente {W) , che soddisfi a queste equazioni, cor- 



