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» risponde uno ed un solo sistema doppio simmetrico do- 

 » tato della proprietà indicata. Gli invarianti algebrici v e p 

 » di questo sistema rispettivamente coniugati ai sistemi \ 

 » e 1^. sono dati da un sistema integrale qualunque, purché 

 » differente dal sistema v = p = c, delle equazioni (17). » 



Osserverò qui che la integrazione di queste equazioni 

 può ottenersi mediante semplici quadrature integrando 

 prima le (17,) e poi uno qualunque dei due sistemi indi- 

 pendenti, in cui si scompone il sistema delle (17), quando 

 per S si ponga il suo valore determinato mediante le (17,). 



Avendo presenti le (15) ed il teorema del § 4, il teo- 

 rema precedente permette poi di concludere che 



2.° « Ad ogni integrale quadratico per la equazione 

 » delle geodetiche corrisponde una ed una sola coppia di 

 » sistemi ortogonali ("X,!,.), per cui sono soddisfatte le equa- 

 » zioni (19) ; e reciprocamente ad ogni coppia di sistemi or- 



> togonali, per cui siano soddisfatte queste equazioni, corri- 

 » sponde uno ed un solo integrale quadratico per la equa- 

 » zione delle geodetiche. Questo può mettersi sotto la 

 » forma 



V cos^^i -|- p sen^i» = c , 



» con V , p indicando ancora un sistema integrale qualunque 

 » (purché differente dal sistema v = p :^ e) delle ecjua- 



> zioni (17), con e una costante arbitraria, e con ']^ l'an- 

 » golo, che le linee di un sistema geodetico fanno con quelle 

 » del sistema \^ . » 



Dalla precedente equazione avendosi 



V — e . e — p 



cos^tj; = -^— , sen2 tp = —^ , 



ne segue che si avranno dei sistemi reali di linee geode- 

 tiche soltanto pei valori di e compresi tra p e v . Ne ri- 

 sulta pure che ad uno stesso valore di e corrispondono due 

 sistemi geodetici tali che 1' angolo delle loro linee é bise- 

 cato m ogni punto dalle linee dei sistemi X,. e \ . 



